[论文解读] Generalized Lens Categories via functors $\mathcal{C}^{ m op} o\mathsf{Cat}$

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文通过为任意函子 $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ 定义一个新的范畴 ${\mathsf{Lens}}_F$，将透镜的范畴进行推广，使用格罗滕迪克构造的一种变体。它表明标准透镜、环化空间以及开放动力系统均作为特例出现，从而在统一的范畴框架下统一了这些结构，并通过 coKleisli 构造将透镜理论推广到对称张量范畴。

ABSTRACT

Lenses have a rich history and have recently received a great deal of attention from applied category theorists. We generalize the notion of lens by defining a category $\mathsf{Lens}_F$ for any category $\mathcal{C}$ and functor $F\colon \mathcal{C}^{ m op} o\mathsf{Cat}$, using a variant of the Grothendieck construction. All of the mathematics in this note is straightforward; the purpose is simply to see lenses in a broader context where some closely-related examples, such as ringed spaces and open continuous dynamical systems, can be included.

研究动机与目标

• 将透镜理论从 $\mathsf{Set}$ 中的配对标准设定扩展至包括环化空间和开放动力系统等结构。
• 利用索引范畴和格罗滕迪克构造的一种变体，为透镜提供统一的范畴框架。
• 通过构建基于 coKleisli 的透镜范畴，将透镜范畴推广至任意对称张量范畴。
• 证明当输入函子为弱张量函子时，所得的广义透镜范畴继承张量结构。

提出的方法

• 将广义透镜范畴 ${\mathsf{Lens}}_F$ 定义为函子 $F: \mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ 的格罗滕迪克构造的对偶。
• 将 ${\mathsf{Lens}}_F$ 中的态射表示为配对 $(f, f^\sharp)$，其中 $f: c \to d$ 是 $\mathcal{C}$ 中的态射，$f^\sharp: c \times y \to x$ 是 $F(c)$ 中的态射，从而推广透镜的 get 和 put 操作。
• 使用范畴 $\mathsf{Slice}: \mathsf{Set}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ 来恢复 $\mathsf{Set}$ 中的标准透镜范畴。
• 通过在对称张量范畴中使用余 Kleisli 范畴的交换余模范畴，构造对称张量范畴中的透镜范畴，使用函子 $\mathsf{coKl}: \mathsf{Comon}_\mathcal{C}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$。
• 应用张量格罗滕迪克构造，当 $F$ 为弱张量函子时，为 ${\mathsf{Lens}}_F$ 赋予对称张量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将透镜的概念推广，以包含环化空间和开放动力系统等结构？
• RQ2 标准透镜范畴（在 $\mathsf{Set}$ 中）能否作为使用索引范畴的更一般构造的一个特例被恢复？
• RQ3 在对称张量范畴中，透镜范畴的范畴结构是什么？如何显式构造它？
• RQ4 在何种条件下，广义透镜范畴 ${\mathsf{Lens}}_F$ 会从输入函子 $F$ 继承张量结构？

主要发现

• 当 $F$ 为范畴 $\mathsf{Slice}$（即集合的截面范畴函子）时，广义透镜范畴 ${\mathsf{Lens}}_F$ 同构于 $\mathsf{Set}$ 中的标准透镜范畴。
• 在对称张量范畴 $\mathcal{C}$ 中的透镜范畴被恢复为 ${\mathsf{Lens}}_{\mathsf{coKl}}$，其中 $\mathsf{coKl}$ 是 $\mathcal{C}$ 中交换余模范畴上的 coKleisli 构造。
• 当 $F$ 为弱张量函子时，通过张量格罗滕迪克构造，透镜范畴 ${\mathsf{Lens}}_F$ 继承了对称张量结构。
• 该构造统一了看似不同的结构：标准透镜、环化空间（通过层函子 $\mathsf{Sh}$）、以及开放动力系统（通过子丛函子 $\mathsf{Subm}$）。