[论文解读] Z-tensors and complementarity problems

M. Seetharama Gowda, Ziyan Luo+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 17被引用 36

一句话总结

本文利用度理论方法研究了基于Z-张量（即非对角线元素非正的张量）的张量互补问题。研究建立了全局可解性的等价条件，并为互补问题的唯一可解性提供了充分条件，尤其针对具有特定条目结构约束的强M-张量。

ABSTRACT

Tensors are multidimensional analogs of matrices. In this paper, based on degree-theoretic ideas, we study homogeneous nonlinear complementarity problems induced by tensors. By specializing this to $Z$-tensors (which are tensors with non-positive off-diagonal entries), we describe various equivalent conditions for a $Z$-tensor to have the global solvability property. We show by an example that the global solvability need not imply unique solvability and provide a sufficient and easily checkable condition for unique solvability.

研究动机与目标

• 利用拓扑度理论刻画Z-张量在张量互补问题中的全局可解性特征。
• 识别Z-张量对所有右端向量q ∈ R^n均保证存在解的等价条件。
• 为张量互补问题的唯一可解性建立充分条件，尤其针对强M-张量。
• 探讨映射F(x) = Ax^{m-1}的满射性及其对互补问题的影响。
• 在Z-张量背景下深化对P-张量与全局唯一可解性（GUS）性质的理解。

提出的方法

• 应用度理论方法分析由张量诱导的齐次非线性互补问题的可解性。
• 利用表示式A = rI - B（其中B为非负张量）研究Z-张量及其谱性质。
• 采用强M-张量（r > ρ(B)，其中ρ(B)为B的谱半径）作为关键结构类。
• 通过正对角矩阵D的对角缩放变换，将张量A转化为严格对角占优的Z-张量Ā。
• 基于分量不等式运用反证法，证明在结构约束下解的唯一性。
• 在度理论条件下，建立Q-性质、全局可解性与映射F(x) = Ax^{m-1}的满射性之间的等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Z-张量保证具有Q-性质，即对所有q ∈ R^n，TCP(A, q)均有解？
• RQ2 Z-张量的何种结构特性可确保张量互补问题的唯一可解性？
• RQ3 度理论方法如何有助于刻画张量互补问题的可解性？
• RQ4 强M-张量结构与张量互补问题中全局唯一可解性（GUS）性质之间有何关系？
• RQ5 在张量A的条目具有特定约束条件下，能否保证解的唯一性？

主要发现

• 在特定度理论条件下，Z-张量具有Q-性质（全局可解性）当且仅当其为强M-张量。
• 本文提供了充分且易于验证的唯一可解性条件：若强M-张量A在其m重线性形式中，除所有指标相等外，其余非对角线元素均为零，则对任意q，TCP(A, q)有唯一解。
• 通过正对角矩阵D的变换Ā = A D^{m-1}，可得到严格对角占优的Z-张量，从而促进唯一性证明。
• 对于强M-张量，映射F(x) = Ax^{m-1}是满射的，这支持了对所有q均存在解。
• 当a_{i i2...im} = 0（当存在j ≠ k使得i_j ≠ i_k时），GUS-性质（全局唯一可解性）得以确立，通过关于分量差的反证法实现唯一性。
• 证明技术依赖于两个不同解的分量差不等式导出的反证法，利用了严格对角占优性与Z-张量结构。