[论文解读] Polynomial functors and categorifications of Fock space

Jiuzu Hong, Antoine Touzé+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文在特征为 $p$ 的无限域上的严格多项式函子范畴 $π$ 上构造了 $χ$-作用，对 Kac-Moody 代数 $χ$（当 $p=0$ 时同构于 $χ⁡_{ ext{∞}}$，当 $p>0$ 时同构于 $ ext{ŝl}_p$）的 Fock 空间表示进行了 categorification。该 categorification 通过 Chuang-Rouquier 函子实现，建立了相同 $p$-权的块之间的导出等价性，并通过单对象上的 socle 函子恢复了 Misra-Miwa 晶体结构。

ABSTRACT

Fix an infinite field $k$ of characteristic $p$, and let $\g$ be the Kac-Moody algebra $\mathfrak{sl}_{\infty}$ if $p=0$ and $\hat{\mathfrak{sl}}_p$ otherwise. Let $\PP$ denote the category of strict polynomial functors defined over $k$. We describe a $\g$-action on $\PP$ (in the sense of Chuang and Rouquier) categorifying the Fock space representation of $\g$.

研究动机与目标

• 通过严格多项式函子范畴 $π$ 建立 $χ$-Fock 空间表示的 categorification。
• 与先前依赖一般线性群表示的逆极限构造相比，提供一个更自然、更内在的 $χ$-categorification 设置。
• 通过 $χ$-categorification 机制证明相同 $p$-权的 $π$ 的块之间导出等价。
• 通过定义在 $π$ 中单对象上的 socle 函子所导出的 Kashiwara 算子，恢复 $π$ 中单对象集合上的 Misra-Miwa 晶体结构。

提出的方法

• 在 $π$ 上定义与 $χ$ 的 Chevalley 生成元对应的精确自函子 $E_i, F_i$，使其在 Grothendieck 群上诱导出 $χ$-作用。
• 通过自然变换和多项式函子上的张量积结构，利用函子 $E_i, F_i$ 构造 $χ$-作用，使其满足 Serre 关系。
• 通过在函子层面上验证关系，特别是 $|i-j|=1$ 时 $[E_i, E_j]$ 的 Serre 关系，来验证 $χ$-作用的定义关系。
• 利用 socle 函子在 $π$ 中单对象的集合上定义 Kashiwara 算子 $\tilde{e}_i, \tilde{f}_i$，从而恢复晶体结构。
• 借助 $χ$-categorification，通过 Chuang-Rouquier 机制对 $χ⁡_2$-categorification 的理论，推导出相同 $p$-权的 $π$ 的块之间的导出等价性。
• 将该理论应用于证明：范畴 $π$ 具有独立于先前构造的 $χ$-categorification，简化并澄清了 [HY] 中的早期结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kac-Moody 代数 $χ$ 的 Fock 空间表示能否通过严格多项式函子范畴 $π$ 实现 categorification？
• RQ2 $π$ 上的 $χ$-categorification 是否导致相同 $p$-权的块之间的导出等价？
• RQ3 Fock 空间上的 Misra-Miwa 晶体结构能否从 $π$ 上的 $χ$-categorification 重建？
• RQ4 $π$ 上的 $χ$-categorification 与基于一般线性群表示逆极限的早期构造相比有何异同？
• RQ5 socle 函子在 $π$ 中单对象集合上实现 Kashiwara 算子的过程中起什么作用？

主要发现

• 严格多项式函子范畴 $π$ 在 Chuang 和 Rouquier 意义下具有 $χ$-作用，对 $χ$ 的 Fock 空间表示实现了 categorification。
• 相同 $p$-权的 $π$ 的块之间导出等价，这是 $χ$-categorification 与 Chuang-Rouquier 机制共同作用的结果。
• 通过将 Chevalley 函子与单对象上的 socle 函子复合所定义的 Kashiwara 算子，从 $χ$-categorification 中恢复了 Fock 空间上的 Misra-Miwa 晶体结构。
• $π$ 上的 $χ$-categorification 提供了一个比基于一般线性群表示逆极限的早期构造更自然、更内在的框架。
• $χ$ 在 $π$ 上的作用通过满足 Serre 关系的函子 $E_i, F_i$ 显式实现，其关系通过向量空间张量积上的直接计算得到验证。
• 该构造对 $p \neq 2$ 成立；$p=2$ 的情况仅因表述简洁而被排除，但结果可推广至 $p=2$。