[论文解读] Polynomial representations and categorifications of Fock Space

Jiuzu Hong, Oded Yacobi|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文通过取 $GL_n(\mathbb{F})$ 的多项式表示范畴的逆极限，构造了仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$（或 $\mathfrak{sl}_\infty$）的玻色子 Fock 空间表示的范畴化，证明所得范畴 $\mathcal{M}$ 在 Rouquier 意义下具有格化的仿射李代数作用，从而通过格罗滕迪克群实现和退化仿射赫伯格代数作用，对 Fock 空间实现范畴化。

ABSTRACT

The rings of symmetric polynomials form an inverse system whose limit, the ring of symmetric functions, is the model for the bosonic Fock space representation of the affine Lie algebra. We categorify this construction by considering an inverse limit of categories of polynomial representation of general linear groups. We show that this limit naturally carries an action of the affine Lie algebra (in the sense of Rouquier), thereby obtaining a famiy of categorifications of the bosonic Fock space representation.

研究动机与目标

• 通过范畴论极限构造仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$ 或 $\mathfrak{sl}_\infty$ 的玻色子 Fock 空间表示的范畴化。
• 将极限范畴 $\mathcal{M}$ 定义为 $GL_n(\mathbb{F})$ 的多项式表示范畴 $\mathcal{M}_n$ 的逆极限，配备有限性条件。
• 证明格罗滕迪克群 $K(\mathcal{M})$ 同构于对称函数环 $B$，从而实现 Fock 空间的范畴化。
• 在 Rouquier 意义下实现在 $\mathcal{M}$ 上的仿射李代数 $\mathfrak{g}$ 的作用，提升 $B$ 上的 Fock 空间作用。
• 通过 Chuang-Rouquier 理论建立 $\mathcal{M}$ 的块之间的导出等价性，并利用 Brundan-Kleshchev 结果恢复 Fock 空间晶体。

提出的方法

• 构造 $GL_n(\mathbb{F})$ 的多项式表示范畴 $\mathcal{M}_n$ 的逆系统，其结构函子 $V \mapsto V^{GL_1}$ 由包含映射 $GL_{n-1} \subset GL_n$ 导出。
• 将极限范畴 $\mathcal{M} = \varprojlim \mathcal{M}_n$ 定义为满足权空间有限性条件的逆系统全子范畴。
• 证明格罗滕迪克群 $K(\mathcal{M})$ 自然同构于无穷多个变量的对称函数环 $B$。
• 构造 $\mathcal{M}$ 上的一族自函子，范畴化 $\mathfrak{g}$ 的 Chevalley 生成元，形成 $\mathfrak{g}$ 的可积表示。
• 在范畴化生成元的直和上赋予退化仿射赫伯格代数作用，符合 Rouquier 的范畴化量子群框架要求。
• 通过映射 $T \mapsto (T(\mathbb{F}^n), \alpha_n)$ 建立范畴 $\mathcal{M}$ 与严格多项式函子范畴 $\mathcal{P}$ 的等价性，并通过逐次度数同构证明该等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将对称函数环的逆极限构造提升到范畴层面，从而实现 Fock 空间表示的范畴化？
• RQ2 $GL_n(\mathbb{F})$ 的多项式表示的极限范畴 $\mathcal{M}$ 是否自然地携带仿射李代数 $\mathfrak{g} = \widehat{\mathfrak{sl}}_p$ 或 $\mathfrak{sl}_\infty$ 的作用？
• RQ3 范畴 $\mathcal{M}$ 的格罗滕迪克群与经典 Fock 空间有何关系？能否将标准 Fock 空间作用提升为 $\mathcal{M}$ 上的函子作用？
• RQ4 能否从 $\mathcal{M}$ 中的单对象中恢复 Fock 空间的晶体结构，如 Brundan-Kleshchev 理论所预测？
• RQ5 范畴化 Fock 空间与严格多项式函子范畴之间有何关系？该等价性如何支持整体构造？

主要发现

• 格罗滕迪克群 $K(\mathcal{M})$ 与对称函数环 $B$ 之间存在自然同构，将经典 Fock 空间实现为张量范畴的格罗滕迪克群。
• 范畴 $\mathcal{M}$ 在 Rouquier 意义下具有明确的仿射李代数 $\mathfrak{g}$ 作用，提升标准 Fock 空间表示。
• 范畴化作用包含在范畴化 Chevalley 生成元直和上的退化仿射赫伯格代数作用，满足强范畴化所需的代数关系。
• 通过 Chuang-Rouquier 理论获得 $\mathcal{M}$ 的块之间的导出等价性，其来源于范畴化李代数作用。
• Fock 空间的晶体图从 $\mathcal{M}$ 中的单对象中恢复，其中顶点对应于单表示，边对应于降低算子的作用。
• 范畴 $\mathcal{M}$ 通过映射 $T \mapsto (T(\mathbb{F}^n), \alpha_n)$ 与严格多项式函子范畴 $\mathcal{P}$ 等价，其中同构 $\alpha_n$ 由投影映射 $\pi_n: \mathbb{F}^{n+1} \to \mathbb{F}^n$ 导出。