[论文解读] Polynomial graph filter of multiple shifts and distributed implementation of inverse filtering

Nazar Emirov, Cheng Cheng+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2020

Advanced Graph Neural Networks参考文献 50被引用 6

一句话总结

本文提出基于多个可交换图移位的多项式图滤波器，实现了网络化系统中滤波与逆滤波的高效分布式实现。提出两种迭代算法——分布式与集中式——用于近似逆滤波，在时变图信号去噪和218个位置的美国每小时气温数据上验证了其有效性。

ABSTRACT

Polynomial graph filters and their inverses play important roles in graph signal processing. An advantage of polynomial graph filters is that they can be implemented in a distributed manner, which involves data transmission between adjacent vertices only. The challenge arisen in the inverse filtering is that a direct implementation may suffer from high computational burden, as the inverse graph filter usually has full bandwidth even if the original filter has small bandwidth. In this paper, we consider distributed implementation of the inverse filtering procedure for a polynomial graph filter of multiple shifts, and we propose two iterative approximation algorithms that can be implemented in a distributed network, where each vertex is equipped with systems for limited data storage, computation power and data exchanging facility to its adjacent vertices. We also demonstrate the effectiveness of the proposed iterative approximation algorithms to implement the inverse filtering procedure and their satisfactory performance to denoise time-varying graph signals and a data set of US hourly temperature at 218 locations.

研究动机与目标

• 通过引入基于多个可交换图移位的多项式图滤波器，将经典图信号处理扩展至多维信号处理，类比于多维FIR滤波器。
• 在每个顶点计算与存储资源有限的网络中，实现滤波与逆滤波的分布式实现。
• 开发适用于分布式与集中式环境的逆滤波迭代近似算法。
• 在真实世界时变图信号（如气温数据与去噪任务）上，展示所提框架的实际应用价值。

提出的方法

• 引入多个可交换图移位的概念，其中各移位两两可交换，确保具有良好的联合谱性质。
• 将多项式图滤波器定义为在可交换移位矩阵上的多变量多项式，其测地线宽度由多项式的总次数限定。
• 设计一种分布式算法，仅通过本地计算与邻居通信，在每个顶点计算滤波输出。
• 提出两种逆滤波的迭代算法：一种适用于分布式网络，另一种适用于集中式设施。
• 利用多变量切比雪夫多项式逼近方法，最小化逆滤波近似中的误差。
• 采用矩阵交换子范数与谱分析，推导出一般滤波器与多项式滤波器集合之间近似误差的理论界。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何设计基于多个可交换图移位的多项式图滤波器，以在多维信号处理中推广经典FIR滤波器？
• RQ2 在仅支持本地处理与有限通信的分布式网络中，此类滤波器的结构与计算可行性如何？
• RQ3 如何在分布式与集中式环境中，利用迭代方法高效近似逆滤波？
• RQ4 使用多项式滤波器进行逆滤波近似时，可提供哪些理论保证？
• RQ5 所提出的算法在实际应用（如时变图信号去噪与真实世界气温数据）中的有效性如何？

主要发现

• 所提出的分布式滤波算法允许仅使用本地数据与邻居通信在顶点级别进行计算，适用于资源受限的网络。
• 迭代逆滤波算法能够准确近似逆滤波器，其收敛性由近似误差的理论界支持。
• 理论分析表明，一般图滤波器与多项式滤波器集合之间的距离，受滤波器与图移位之间交换子范数的有界性约束。
• 实验结果表明，成功实现了时变图信号的去噪，并准确重建了218个位置的美国每小时气温数据。
• 通过利用具有不同物理意义的多个图移位，该框架有效捕捉了时变信号中的多方向相关性。
• 采用多变量切比雪夫逼近确保了逆滤波近似算法的鲁棒与稳定收敛。