[论文解读] Polynomial growth for compact quantum groups, topological dimension and *-regularity of the Fourier algebra

Alessandro D’Andrea, Claudia Pinzari+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文将 Banica 和 Vergnioux 关于紧单连通李群对偶中多项式增长的结果推广至一般紧群，通过 Gelfand-Kirillov 维数将增长阶与拓扑维数联系起来。此外，本文证明对于 Kac 型紧量子群，多项式增长蕴含傅里叶代数的 *-正则性，确保 C(G) 的每个闭理想与 A(G) 稠密相交，且 A(G) 具有唯一的 C*-范数。

ABSTRACT

Banica and Vergnioux have shown that the dual discrete quantum group of a compact simply connected Lie group has polynomial growth of order the real manifold dimension. We extend this result to a general compact group and its topological dimension, by connecting it with the Gelfand-Kirillov dimension of an algebra. Furthermore, we show that polynomial growth for a compact quantum group G of Kac type implies *-regularity of the Fourier algebra A(G), that is every closed ideal of C(G) has a dense intersection with A(G). In particular, A(G) has a unique C*-norm.

研究动机与目标

• 将 Banica 和 Vergnioux 关于单连通紧李群对偶中多项式增长的结果推广至任意紧群。
• 建立紧群的拓扑维数与相关代数的 Gelfand-Kirillov 维数之间的联系。
• 研究 Kac 型紧量子群中多项式增长对其傅里叶代数结构的影响。
• 证明多项式增长蕴含傅里叶代数 A(G) 的 *-正则性，确保 C(G) 的每个闭理想与 A(G) 稠密相交。
• 证明 A(G) 的 *-正则性蕴含傅里叶代数上 C*-范数的唯一性。

提出的方法

• 利用 Gelfand-Kirillov 维数作为度量与紧量子群相关代数增长的工具。
• 将对偶量子群的代数包络的 Gelfand-Kirillov 维数与底层紧群的拓扑维数联系起来。
• 应用表示论技术分析 Kac 型量子群背景下傅里叶代数 A(G) 的结构。
• 建立对偶离散量子群的多项式增长与 A(G) 正则性之间的联系。
• 在 C(G) 中使用理想论论证，证明在多项式增长条件下，与 A(G) 的稠密相交性成立。
• 利用 Kac 性质确保傅里叶代数的对称性，从而支持 *-正则性及 C*-范数唯一性的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kac 型紧量子群对偶中的多项式增长是否蕴含其傅里叶代数 A(G) 的 *-正则性？
• RQ2 紧群的拓扑维数与相关代数的 Gelfand-Kirillov 维数之间有何关系？
• RQ3 能否将单连通紧李群上多项式增长的结果推广至所有紧群？
• RQ4 对偶量子群的多项式增长会带来 A(G) 的哪些结构性性质？
• RQ5 在 Kac 型量子群中，多项式增长条件下傅里叶代数 A(G) 的 C*-范数是否唯一？

主要发现

• 任意紧群的对偶离散量子群均表现出阶等于该群拓扑维数的多项式增长。
• 与紧量子群相关的代数的 Gelfand-Kirillov 维数等于底层紧群的拓扑维数。
• 对于 Kac 型紧量子群，多项式增长意味着 C(G) 的每个闭理想与傅里叶代数 A(G) 有稠密交。
• 此稠密相交性质确立了傅里叶代数 A(G) 的 *-正则性。
• 作为 *-正则性的结果，傅里叶代数 A(G) 具有唯一的 C*-范数。
• 该结果将先前关于单连通紧李群的发现推广至所有紧群的完整类。