[论文解读] Polynomial patterns in the primes

Terence Tao, Tamar Ziegler|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文证明了在素数中存在无穷多组多项式模式，推广了以往结果，允许多项式中存在任意常数项。通过结合广义冯·诺依曼定理、连接定理、哥德斯配齐范数以及康隆-福克斯-赵的致密化方法，本文证明了当 $ n \leq N $，$ m \leq M $ 时，此类模式的渐近计数，其中 $ M \approx N^{1/d} $，并进一步推广至素数的正密度子集，此时 $ m \ll \log^L n $。

ABSTRACT

Let $P_1,\dots,P_k \colon {\bf Z} o {\bf Z}$ be polynomials of degree at most $d$ for some $d \geq 1$, with the degree $d$ coefficients all distinct, and admissible in the sense that for every prime $p$, there exists integers $n,m$ such that $n+P_1(m),\dots,n+P_k(m)$ are all not divisible by $p$. We show that there exist infinitely many natural numbers $n,m$ such that $n+P_1(m),\dots,n+P_k(m)$ are simultaneously prime, generalizing a previous result of the authors, which was restricted to the special case $P_1(0)=\dots=P_k(0)=0$ (though it allowed for the top degree coefficients to coincide). Furthermore, we obtain an asymptotic for the number of such prime pairs $n,m$ with $n \leq N$ and $m \leq M$ with $M$ slightly less than $N^{1/d}$. Our arguments rely on four ingredients. The first is a (slightly modified) generalized von Neumann theorem of the authors, reducing matters to controlling certain averaged local Gowers norms of (suitable normalizations of) the von Mangoldt function. The second is a more recent concatenation theorem of the authors, controlling these averaged local Gowers norms by global Gowers norms. The third ingredient is the work of Green and the authors on linear equations in primes, allowing one to compute these global Gowers norms for the normalized von Mangoldt functions. Finally, we use the Conlon-Fox-Zhao densification approach to the transference principle to combine the preceding three ingredients together. In the special case $P_1(0)=\dots=P_k(0)=0$, our methods also give infinitely many $n,m$ with $n+P_1(m),\dots,n+P_k(m)$ in a specified set primes of positive relative density $δ$, with $m$ bounded by $\log^L n$ for some $L$ independent of the density $δ$. This improves slightly on a result from our previous paper, in which $L$ was allowed to depend on $δ$.

研究动机与目标

• 建立存在无穷多组自然数 $ n, m $，使得 $ n + P_1(m), \dots, n + P_k(m) $ 全为素数，其中 $ P_i $ 为次数不超过 $ d $ 且首项系数互异的多项式。
• 通过允许多项式中出现任意常数项，推广此前要求 $ P_i(0) = 0 $ 的结果。
• 为满足 $ n \leq N $，$ m \leq M $ 的此类素数模式数量提供渐近公式，其中 $ M $ 略小于 $ N^{1/d} $。
• 将结果推广至素数的正相对密度子集，其中 $ m $ 受 $ \log^L n $ 限制，且 $ L $ 与密度 $ \delta $ 无关。

提出的方法

• 应用广义冯·诺依曼定理，将问题约化为控制归一化冯·曼戈尔特函数的平均局部哥德斯配齐范数。
• 利用近期的连接定理，通过全局哥德斯配齐范数控制这些平均局部哥德斯配齐范数。
• 借助格林与作者们关于素数中线性方程的工作，计算归一化冯·曼戈尔特函数的全局哥德斯配齐范数。
• 采用康隆-福克斯- Zhao 的致密化方法处理转移原理，将上述各要素整合为单一渐近公式。
• 通过先前工作的定理 A.1 的修改版本，验证伪随机权 $ \nu_b $ 的多项式形式条件，确保关键误差项中出现 $ 1 + o(1) $ 的行为。
• 确保所有多项式差 $ P_i - P_j $ 非常数，以在整个分析中保持误差项的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当多项式 $ P_i(m) $ 的常数项非零时，是否可以证明素数中存在无穷多组多项式模式？
• RQ2 当 $ n \leq N $ 且 $ m \leq M $，其中 $ M \approx N^{1/d} $ 时，此类素数模式的渐近计数是多少？
• RQ3 该结果能否推广至素数的正相对密度子集，且 $ m $ 受 $ \log^L n $ 限制？
• RQ4 在此设定下，冯·曼戈尔特函数的平均局部哥德斯配齐范数与全局哥德斯配齐范数有何关系？
• RQ5 何种条件可确保伪随机权 $ \nu_b $ 满足转移方法所需的形态条件？

主要发现

• 存在无穷多组自然数 $ n, m $，使得 $ n + P_1(m), \dots, n + P_k(m) $ 全为素数，即使 $ P_i $ 的常数项非零且互异。
• 为满足 $ n \leq N $，$ m \leq M $ 的此类素数模式数量建立了渐近公式，其中 $ M \ll N^{1/d} $，主项由局部因子 $ \beta_p $ 的乘积给出。
• 对于素数的正相对密度 $ \delta $ 子集，该方法可导出无穷多组 $ n, m $，满足 $ m \ll \log^L n $，其中 $ L $ 与 $ \delta $ 无关，优于此前 $ L $ 依赖于 $ \delta $ 的结果。
• 借助连接定理，平均局部哥德斯配齐范数可通过全局哥德斯配齐范数加以控制。
• 在所有非零系数有界且 $ P_i - P_j $ 非常数的假设下，验证了权 $ \nu_b $ 的多项式形式条件，确保关键误差项中出现 $ 1 + o(1) $ 的行为。
• 乘积 $ \prod_p \beta_p $ 绝对收敛，确认了渐近公式中的算术因子。