[论文解读] Polynomial realizations of some combinatorial Hopf algebras

Loïc Foissy, Jean-Christophe Novelli+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文通过引入使用二元关系而非排序的广义变量加倍构造，为若干组合 Hopf 代数（包括 Connes-Kreimer 代数和基于自映射的新非交换 Hopf 代数）构建了显式的多项式实现。关键贡献是一个统一框架，通过组合定义乘积与余乘积的多项式代数，实现了这些 Hopf 代数。

ABSTRACT

We construct explicit polynomial realizations of some combinatorial Hopf algebras based on various kind of trees or forests, and some more general classes of graphs, ranging from the Connes-Kreimer algebra to an algebra of labelled forests isomorphic to the Hopf algebra of parking functions, and to a new noncommutative algebra based on endofunctions admitting many interesting subalgebras and quotients.

研究动机与目标

• 为基于有根树、森林和图的组合 Hopf 代数提供显式的多项式实现。
• 将先前依赖有序字母表的标准多项式实现方法，扩展至涉及二元关系而非全序的结构。
• 构建一个基于自映射的新非交换 Hopf 代数，该代数推广了标记森林并包含环。
• 建立该新代数与已知 Hopf 代数（如停车函数代数的对偶和 Loday-Ronco 代数）之间的同构关系。
• 识别并表征自映射代数中的 Hopf 子代数与商代数，包括无环的、非递减的和幂等的自映射。

提出的方法

• 在 [n] 上的自映射上定义一个新的 Hopf 代数结构，其中乘积由自映射的不相交并集给出，余乘积通过子集上限制的标准形定义。
• 基于不动点定义自映射上的偏序，覆盖关系通过将非不动点变为不动点来定义。
• 通过在偏序上使用 Möbius 反演构造 Schur 型基 {R_f}，公式为 R_f = ∑_{g≤f} (−1)^{Fix(f)−Fix(g)} S^g。
• 定义由非无环自映射 f 的 R_f 生成的理想 I_o'，并证明模 I_o' 的商代数同构于 Connes-Kreimer Hopf 代数 H_o。
• 通过映射 f ↦ f_F（F 为有序森林）将自映射与有根森林联系起来，并建立代数同构。
• 证明在自映射代数中，两个基元素 R_{f'} 和 R_{f''} 的乘积等于所有满足 std(f^I) = f' 且 std(f^{[n']'}) = f'' 的自映射 f ∈ [n'+n''] 上的 R_f 之和，其中 I = [n'] 且 I^c = [n'+n'']∓[n']。

实验结果

研究问题

• RQ1 Connes-Kreimer Hopf 代数（此前缺乏多项式实现）能否通过广义变量加倍构造嵌入到多项式代数中？
• RQ2 如何将基于有序字母表的标准多项式实现方法，扩展至有根树和自映射等非有序组合结构？
• RQ3 自映射会产生哪些新的 Hopf 代数结构，它们与已知代数（如停车函数代数或 Loday-Ronco 代数）有何关系？
• RQ4 自映射 Hopf 代数的哪些子代数与商代数本身也是 Hopf 代数，其组合性质如何表征？
• RQ5 是否存在自映射 Hopf 代数的 Schur 型基，使其尊重乘积与余乘积结构，并允许与其它已知 Hopf 代数建立同构？

主要发现

• Connes-Kreimer Hopf 代数 H_o 同构于自映射 Hopf 代数模由非无环自映射 f 的 R_f 生成的理想 I_o' 的商代数。
• 将有序森林 F 映射到商代数中 R_{f_F} 的等价类的映射，给出了从 H_o 到自映射代数模 I_o' 的商代数的代数同构。
• 在自映射代数中，两个基元素 R_{f'} 和 R_{f''} 的乘积由所有满足 f 在 [n'] 上的限制标准形为 f' 且在 [n'+n'']∓[n'] 上的限制标准形为 f'' 的自映射 f ∈ [n'+n''] 上的 R_f 之和给出。
• 无环自映射的 Hopf 代数同构于 H_o 与停车函数代数对偶（PQSym*）的双重。
• 非递减自映射的子代数在乘积与余乘积下封闭，构成一个 Hopf 子代数。
• 幂等自映射（满足 f^2 = f）的子代数同样在运算下封闭，构成一个 Hopf 子代数，对应于冠状树（高度 ≤1 的树）。