[论文解读] Polynomial Time Algorithms and Extended Formulations for Unit Commitment Problems

Yongpei Guan, Kai Pan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2016

Electric Power System Optimization参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文提出了针对具有通用凸函数和分段线性成本函数的单台发电机机组组合（UC）问题的多项式时间算法与扩展形式。通过利用动态规划与对偶理论，该方法在凸函数情况下实现 O(T²) 的时间复杂度，在分段线性情况下实现 O(T) 的时间复杂度，并提供了整数线性规划重构形式，消除了整数规划的需要，从而可通过凸优化高效求解。

ABSTRACT

Recently increasing penetration of renewable energy generation brings challenges for power system operators to perform efficient power generation daily scheduling, due to the intermittent nature of the renewable generation and discrete decisions of each generation unit. Among all aspects to be considered, a unit commitment polytope is fundamental and embedded in the models at different stages of power system planning and operations. In this paper, we focus on deriving polynomial time algorithms for the unit commitment problems with general convex cost function and piecewise linear cost function respectively. We refine an $\mathcal{O}(T^3)$ time, where $ T $ represents the number of time periods, algorithm for the deterministic single-generator unit commitment problem with general convex cost function and accordingly develop an extended formulation in a higher dimensional space that can provide an integral solution, in which the physical meanings of the decision variables are described. It means the original problem can be solved as a convex program instead of a mixed-integer convex program. Furthermore, for the case in which the cost function is piecewise linear, by exploring the optimality conditions, we derive more efficient algorithms for both deterministic (i.e., $\mathcal{O}(T)$ time) and stochastic (i.e., $\mathcal{O}(N)$ time, where $N$ represents the number of nodes in the stochastic scenario tree) red{single-generator} unit commitment problems. We also develop the corresponding extended formulations for both deterministic and stochastic single-generator unit commitment problems that solve the original mixed-integer linear programs as linear programs. Similarly, physical meanings of the decision variables are explored to show the insights of the new modeling approach.

研究动机与目标

• 为具有通用凸成本函数的单台发电机机组组合（UC）问题开发高效的多项式时间算法。
• 推导出可为确定性与随机性UC问题提供整数解的扩展形式，将混合整数规划转化为线性规划。
• 通过将凸成本函数的时间复杂度从 O(T³) 降低至 O(T²)，将分段线性成本函数的时间复杂度降低至 O(T)，从而提升计算效率。
• 将该方法扩展至具有情景树的随机UC问题，实现 O(N) 的时间复杂度，其中 N 为节点数量。
• 为扩展形式中的决策变量提供物理解释，以增强建模的洞察力。

提出的方法

• 优化了用于具有通用凸成本的确定性UC问题的动态规划算法，通过预求解经济调度子问题，将时间复杂度从 O(T³) 降低至 O(T²)。
• 在更高维空间中提出一种扩展形式，利用对偶变量，通过变量的物理解释确保解为整数。
• 利用分段线性成本函数的最优性条件，设计出针对确定性UC问题的线性时间 O(T) 动态规划算法。
• 通过将情景树建模为有向无环图，并利用对偶分解，将方法扩展至随机UC问题，推导出 O(N) 时间复杂度的算法。
• 构建了包含将原始决策与对偶变量关联的约束的线性规划，确保其与原始混合整数规划等价。
• 在扩展形式中为决策变量引入物理意义，例如通过情景基础上对偶解的加权和，表示发电、投入状态与启动状态。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将求解具有通用凸成本的单台发电机UC问题的时间复杂度降低至 O(T³) 以下？
• RQ2 能否构建一种扩展形式，使得在不求解混合整数规划的前提下，为确定性UC问题提供整数解？
• RQ3 当成本函数为分段线性时，是否可能实现针对确定性UC问题的线性时间 O(T) 求解？
• RQ4 该方法能否扩展至具有情景树的随机UC问题？其时间复杂度如何？
• RQ5 扩展形式是否在保证最优性与整数性的同时，保留了决策变量的物理可解释性？

主要发现

• 所提出的用于通用凸成本的动态规划算法将时间复杂度从 O(T³) 降低至 O(T²)，显著提升了计算效率。
• 开发了一种扩展形式，将混合整数凸规划转化为凸规划，通过变量的物理解释确保解为整数。
• 对于分段线性成本函数，推导出针对确定性UC问题的线性时间 O(T) 算法，优于以往方法。
• 为随机UC问题开发了 O(N) 时间复杂度的算法，其中 N 为情景树中的节点数，实现了大规模随机模型的可扩展求解。
• 针对确定性与随机UC问题的扩展形式确保：求解线性规划即可获得最优整数解，无需使用整数规划。
• 在扩展形式中，变量的物理意义（如发电、投入状态与启动状态）被明确推导，增强了模型的可解释性与实际可用性。