[论文解读] Polynomial-Time Algorithms for Structurally Observable Graphs by Controlling Minimal Vertices

Shiyong Zhu, Jianquan Lu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2021

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 46被引用 4

一句话总结

本论文提出多项式时间算法，通过识别并控制最小顶点集，实现大规模布尔网络与离散时间网络的结构可观测性。该方法利用相互作用有向图的结构特性，并结合二分图中的最优匹配，确保以最少的传感器布置或顶点控制实现可观测性，解决了此前在超过30个节点的系统中难以处理的问题。

ABSTRACT

The aim of this paper is to characterize an important class of marked digraphs, called structurally observable graphs (SOGs), and to solve two minimum realization problems. To begin with, by exploring structural observability of large-scale Boolean networks (LSBNs), an underlying type of SOGs is provided based on a recent observability criterion of conjunctive BNs. Besides, SOGs are also proved to have important applicability to structural observability of general discrete-time systems. Further, two minimum realization strategies are considered to induce an SOG from an arbitrarily given digraph by marking and controlling the minimal vertices, respectively. It indicates that one can induce an observable system by means of adding the minimal sensors or modifying the adjacency relation of minimal vertices. Finally, the structural observability of finite-field networks, and the minimum pinned node theorem for Boolean networks are displayed as application and simulation. The most salient superiority is that the designed algorithms are polynomial time and avoid exhaustive brute-force searches. It means that our results can be applied to deal with the observability of large-scale systems (particularly, LSBNs), whose observability analysis and the minimum controlled node theorem are known as intractable problems.

研究动机与目标

• 为解决大规模布尔网络（LSBNs）中可观测性分析的计算不可行性问题，现有代数方法在节点数超过 n ≤ 30 时扩展性差。
• 刻画一类标记有向图——结构可观测图（SOG）——其仅通过结构特性即可保证有限时间可观测性。
• 解决两个最小实现问题：通过最少顶点标记（最小传感器布置）诱导SOG，以及通过最少修改顶点入边（最小控制）诱导SOG。
• 将结构可观测性方法推广至一般离散时间系统，包括有限域网络与逻辑网络。
• 为可观测性验证与控制器设计提供一种可扩展的、多项式时间的替代方案，避免暴力搜索或指数时间方法。

提出的方法

• 论文基于两个关键性质定义结构可观测图（SOG）：(P1) 所有不属于类型I最优路径-环对（OP-CP）的顶点，必须被唯一一个属于类型II OP-CP 的顶点所支配；(P2) 所有环必须满足特定的入邻居条件。
• 提出从原始有向图构造二分图，以建模顶点依赖关系，从而通过最大匹配计算识别关键控制顶点。
• 基于二分图中最大匹配的大小，采用三类情况分析：当 |χ*M(V)|/2 = |M̄G²| 时，当 |χ*M(V)|/2 < |M̄G²| 时，以及当 |χ*M(V)|/2 > |M̄G²| 时，每种情况对应不同的顶点控制策略。
• 针对每种情况，算法选择最少数量的顶点进行控制——通过标记传感器或修改入边——确保所得图满足SOG条件。
• 核心算法通过最优匹配与路径-环分解，计算最小控制顶点数为 |M̄G| = |M̄G¹| + |M̄G²|。
• 该方法通过组合优化避免穷举搜索，确保所有步骤均为多项式时间复杂度（O(n³) 或更优）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以一种避免代数状态空间方法在大规模布尔网络中指数级复杂度的方式，表征结构可观测性？
• RQ2 在给定有向图中，为确保结构可观测性，必须标记或控制的最少顶点数是多少？
• RQ3 如何高效计算最小顶点集合，以诱导出结构可观测图，而无需穷举搜索？
• RQ4 所提方法能否推广至布尔网络以外的其他离散时间系统，如有限域网络？
• RQ5 有向图需满足何种结构条件，才能保证通过最少顶点干预实现可观测性？

主要发现

• 所提算法在识别最小传感器布置或顶点控制时达到多项式时间复杂度，避免了传统代数方法的 O(n2^n) 复杂度。
• 诱导SOG所需的最小控制顶点数恰好为 |M̄G| = |M̄G¹| + |M̄G²|，其中 M̄G¹ 与 M̄G² 分别为类型I与类型II最优路径-环对中的顶点集合。
• 该方法成功在有限域网络中诱导出结构可观测性，并通过仿真验证了布尔网络中最小固定节点定理。
• 该方法适用于超过90个节点的系统，如T细胞受体信号转导模型，克服了先前方法的实际限制。
• 通过顶点控制构建SOG可确保所有环满足性质P2，且所有非支配顶点均被唯一支配，从而保证有限时间可观测性。
• 算法通过依赖于导出二分图中的最大匹配，避免了暴力搜索，确保了在大规模系统中的可扩展性。