[论文解读] Polynomial-Time Approximation Schemes for Bounded-Capacity Vehicle Routing and Clustering Problems in Metrics with Bounded Highway Dimension

Amariah Becker, Philip N. Klein+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2017

Facility Location and Emergency Management参考文献 32被引用 3

一句话总结

该论文为有界高速公路维度度量中的有界容量车辆路径规划与聚类问题提出了多项式时间近似方案（PTAS）。通过将此类度量嵌入到具有小加法误差的有界树宽图中，作者使单 depot 与多 depot 车辆路径规划、k-center 与 k-median 问题（k 固定）的高效近似算法成为可能。

ABSTRACT

The concept of bounded highway dimension was developed to capture observed properties of the metrics of road networks. We show that a metric with bounded highway dimension and a distinguished point (the depot) can be embedded into a a graph of bounded treewidth in such a way that the distance between $u$ and $v$ is preserved up to an additive error of $\epsilon$ times the distance from $u$ or $v$ to the depot. We show that this theorem yields a PTAS for Bounded-Capacity Vehicle Routing in metrics of bounded highway dimension. In this problem, the input specifies a depot and a set of client locations; the output is a set of depot-to-depot tours, where each tour is responsible for visiting at most $Q$ client locations. Our PTAS can be extended to handle penalties for unvisited clients. We extend this embedding in a case where there is a set $S$ of distinguished points. The treewidth depends on $|S|$, and the distance between $u$ and $v$ is preserved up to an additive error of $\epsilon$ times the distance from $u$ and $v$ to $S$. This embedding implies a PTAS for Multiple Depot Bounded-Capacity Vehicle Routing, where the tours can go from one depot to an other. The embedding also implies that, for fixed $k$, there is a PTAS for $k$-Center in metrics of bounded highway dimension. In this problem, the goal is to minimize $d$ such that there exist $k$ points (the centers) such that every point is within distance $d$ of some center. Similarly, for fixed $k$, there is a PTAS for $k$-Median in metrics of bounded highway dimension. The goal of this problem is to minimize the sum of distances to the $k$ centers.

研究动机与目标

• 为道路网络类度量中的车辆路径规划与聚类问题开发高效的近似算法。
• 解决单个或多个 depot 的有界容量车辆路径规划问题。
• 将该框架扩展至固定 k 的 k-center 与 k-median 聚类问题。
• 利用有界高速公路维度特性设计可扩展的近似方案。
• 通过新颖地将度量嵌入到低树宽图中并控制畸变，提供理论保证。

提出的方法

• 将有界高速公路维度的度量嵌入到树宽有界的图中，保持距离误差在 ε 倍至最近 depot 或一组特殊点 S 的距离以内。
• 利用树宽结构设计基于动态规划的路径规划与聚类问题近似方案。
• 将该嵌入方法应用于单 depot 与多 depot 车辆路径规划，允许路径在任意 depot 开始和结束。
• 通过利用低树宽结构实现对 k-center 与 k-median 问题的高效优化，从而扩展该方法。
• 引入依赖于至最近 depot 或集合 S 距离的参数化加法误差，确保近似质量可控。
• 利用有界高速公路维度控制嵌入图的树宽，从而支持多项式时间算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 有界高速公路维度度量中的有界容量车辆路径规划能否通过 PTAS 实现高效近似？
• RQ2 将有界高速公路维度度量嵌入低树宽图是否能以可控误差保持距离？
• RQ3 该嵌入技术能否扩展以处理车辆路径规划中的多个 depot？
• RQ4 当 k 固定时，有界高速公路维度度量中是否存在 k-center 与 k-median 聚类的 PTAS？
• RQ5 近似质量与嵌入图树宽之间的权衡关系如何？

主要发现

• 通过基于树宽的嵌入与加法误差，有界高速公路维度度量中存在有界容量车辆路径规划的 PTAS。
• 该嵌入将距离保持在至最近 depot 的 ε 倍误差范围内，从而在低树宽图上实现高效的动态规划。
• 该框架可扩展至多 depot 车辆路径规划，允许在 depot 之间行驶路径，同时保持 PTAS 保证。
• 当 k 固定时，有界高速公路维度度量中 k-center 问题的 PTAS 可实现。
• 当 k 固定时，通过相同的嵌入技术，有界高速公路维度度量中 k-median 问题的 PTAS 也可实现。
• 嵌入图的树宽取决于特殊点集合 S 的数量，且误差项随至 S 的距离而缩放。