[论文解读] Polyvector fields and polydifferential operators associated with Lie pairs

Ruggero Bandiera, Mathieu Stiénon+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Advanced Topics in Algebra参考文献 62被引用 5

一句话总结

本文证明了与李对 (L, A) 相关的多向量场与多微分算子的 Chevalley–Eilenberg 上同调复形，通过构造的 Fedosov dg 李代数的同伦传递，自然地携带 L∞-代数结构。这些结构在上同调上诱导出唯一的 Gerstenhaber 代数结构，将 Kontsevich 的形式性定理推广至李对的设定，并解决了叶层与复几何背景下自然 dgla 结构缺失的问题。

ABSTRACT

We prove that the spaces tot (Γ(λ•A)⊗Rt•polly;) and tot (Γ(λ•A)⊗RD•polly;) associated with a Lie pair (L,A) each carry an L∞algebra structure canonical up to an L1 isomorphism with the identity map as linear part. These two spaces serve, respectively, as replacements for the spaces of formal polyvector fields and formal polydifferential operators on the Lie pair (L,A). Consequently, both H•CE(A t•polly;) and H•CE(A D•polly;) admit unique Gerstenhaber algebra structures. Our approach is based on homotopy transfer and the construction of a Fedosov dg Lie algebroid (i.e. a dg foliation on a Fedosov dg manifold).

研究动机与目标

• 解决一般李对的多向量场与多微分算子上链复形中自然 dgla 或 L∞-代数结构缺失的问题。
• 通过在相关上同调复形上构造自然的 L∞-代数结构，将 Kontsevich 的形式性定理推广至李对的设定。
• 证明上同调群 H•_CE(A, T•_poly) 与 H•_CE(A, D•_poly) 具有唯一的 Gerstenhaber 代数结构。
• 发展一个几何框架——Fedosov dg 李代数——以实现从模型 dgla 到原始复形的 L∞-结构同伦传递。
• 通过李对形式化，将形式性定理扩展至非平凡几何设定，如叶层与复流形。

提出的方法

• 在分次流形 M = L[1] ⊕ L/A 上构造一个 Fedosov dg 流形结构，配备一个同调向量场 Q，编码李对几何。
• 在 Fedosov dg 流形上定义一个自然的 dg 可积分布 F ⊂ TM，从而得到一个 Fedosov dg 李代数 F → M。
• 应用 Dolgushev–Fedosov 的收缩技术，将 F 上多向量场与多微分算子的自然 dgla 结构传递至原始复形。
• 利用 L∞-代数的同伦传递定理，在 tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R T•_poly) 与 tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R D•_poly) 上诱导出自然的 L∞-代数结构。
• 证明所诱导的 L∞-结构在恒等线性部分的 L∞-同构下唯一。
• 将该构造应用于李代数的匹配对，恢复复几何与叶层几何中的已知结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 李对 (L, A) 关联的多向量场与多微分算子上链复形能否赋予与它们的结合乘法相容的自然 L∞-代数结构？
• RQ2 Chevalley–Eilenberg 上同调群 H•_CE(A, T•_poly) 与 H•_CE(A, D•_poly) 是否具有唯一的 Gerstenhaber 代数结构？
• RQ3 是否存在一种几何构造——通过 Fedosov dg 李代数——实现李对下多向量场与多微分算子之间的形式性？
• RQ4 这些复形上的 L∞-代数结构如何与形变量子化中已知的形式性定理相关联？
• RQ5 该构造能否推广至李代数的匹配对，从而恢复复几何与叶层几何中的已知结果？

主要发现

• 空间 tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R T•_poly) 与 tot(Γ(Λ•A∨) ⊗R D•_poly) 各自携带唯一的 L∞-代数结构，且在恒等线性部分的 L∞-同构下唯一。
• 这些 L∞-结构在上同调群 H•_CE(A, T•_poly) 与 H•_CE(A, D•_poly) 上诱导出唯一的 Gerstenhaber 代数结构。
• 通过 Fedosov dg 李代数的构造，为任意李对 (L, A) 提供了多向量场与多微分算子之间形式性的几何实现。
• 在复流形情形（L = TX⊗C, A = T0,1_X），上同调群分别同构于 H•(X, Λ•TX) 与 HH•(X)，并继承 Gerstenhaber 代数结构。
• 在匹配对情形，该构造恢复了 Ω0,•(T•_poly(X)) 与 Ω0,•(D•_poly(X)) 上已知的 dgla 结构，分别对应 ∂ 与 ∂+dH。
• 该方法通过解决这些设定中自然 dgla 结构缺失的问题，将 Kontsevich 的形式性定理推广至光滑流形之外的李对设定，包括叶层与复流形。