[论文解读] Pontryagin's maximum principle and second order optimality condition for optimal control problems for the nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems in two dimensions

Tania Biswas, Sheetal Dharmatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文为二维非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统建立了分布式最优控制的一阶和二阶最优性条件，推导了庞特里亚金最大值原理，并通过伴随系统和变分分析证明了必要与充分的二阶条件。主要贡献在于对具有相分离与流体相互作用的复杂、非线性、非局部流体动力学模型中的最优控制进行了严格表征。

ABSTRACT

In this work, we address some optimal control problems related to the evolution of two isothermal, incompressible, immisible fluids in a two dimensional bounded domain. A distributed optimal control problem is formulated as the minimization of a suitable cost functional subject to the controlled nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations. We describe the first order necessary conditions of optimality via Pontryagin minimum principle and prove second order necessary and sufficient conditions of optimality for the problem.

研究动机与目标

• 为二维非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统制定分布式最优控制问题。
• 利用庞特里亚金最大值原理推导一阶必要最优性条件。
• 为最优控制问题建立二阶必要与充分最优性条件。
• 分析伴随系统的结构及其在表征最优控制中的作用。
• 为非局部、非线性且非光滑的流体-相分离相互作用模型提供严谨的数学最优控制框架。

提出的方法

• 在有界二维区域中，制定一个最小化二次型性能泛函的分布式最优控制问题，约束条件为非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程。
• 通过状态变量（速度、浓度、化学势）的伴随系统，利用庞特里亚金最大值原理推导一阶必要最优性条件。
• 为状态变量引入伴随系统，并在希尔伯特空间框架下通过分部积分法推导变分恒等式。
• 对性能泛函在最优控制附近的二阶展开，推导出涉及拉格朗日函数Hessian矩阵的二阶充分条件。
• 利用非局部项（J∗ϕ）和Korteweg力（µ∇ϕ）的结构，分析伴随方程的正则性与适定性。
• 建立二阶充分条件与控制空间中约化Hessian矩阵严格凸性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统分布式最优控制的一阶必要最优性条件是什么？
• RQ2 如何为该非局部、非线性PDE系统推导二阶必要与充分最优性条件？
• RQ3 非局部相互作用核J在伴随系统与最优性条件结构中起什么作用？
• RQ4 Korteweg力（µ∇ϕ）的存在如何影响最优性系统的正则性与可解性？
• RQ5 二阶充分条件能否以拉格朗日函数的Hessian矩阵与控制空间几何结构的形式表达？

主要发现

• 本文证明了在可变粘度与迁移率条件下，非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统存在唯一弱解，将先前结果推广至非局部情形。
• 通过庞特里亚金最大值原理推导出一阶必要最优性条件，表明最优控制满足涉及伴随状态的变分不等式。
• 通过分析拉格朗日函数的二阶变分并要求Hessian矩阵在控制方向上非负，建立了二阶必要条件。
• 通过证明若二阶变分严格正定，则控制为局部最优，从而证明了二阶充分条件。
• 分析确认最优控制三元组（u*, ϕ*, U*）满足涉及伴随变量（p, η）的变分不等式，且在可行集中的扰动下性能泛函增加。
• 在核J、双阱势F以及迁移率与粘度函数的标准假设下，结果成立，且非局部项（J∗ϕ）通过伴随方程中的卷积结构处理。