[论文解读] Positive Polynomials and Projections of Spectrahedra

João Gouveia, Tim Netzer|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2009

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过引入一种捕捉此类集合上严格正多项式的新二次模结构，为投影谱多面体（其并非基本闭半代数集）建立了 Positivstellensatz。证明了谱多面体投影的闭包仍是谱多面体的投影，解决了关于非暴露面的开放问题，并为曲线凸包与多项式映射像提供了统一框架。

ABSTRACT

This work is concerned with different aspects of spectrahedra and their projections, sets that are important in semidefinite optimization. We prove results on the limitations of so called Lasserre and theta body relaxation methods for semialgebraic sets and varieties. As a special case we obtain the main result of the paper "Exposed faces of semidefinite representable sets" of Netzer, Plaumann and Schweighofer. We also solve the open problems from that work. We further prove some helpful facts which can not be found in the existing literature, for example that the closure of a projection of a spectrahedron is again such a projection. We give a unified account of several results on convex hulls of curves and images of polynomial maps. We finally prove a Positivstellensatz for projections of spectrahedra, which exceeds the known results that only work for basic closed semialgebraic sets.

研究动机与目标

• 通过代数正性证书刻画谱多面体的投影，将已知结果扩展至非基本闭半代数集之外。
• 解决先前研究中关于谱多面体投影中非暴露面的开放问题。
• 建立谱多面体投影的基础性质，包括闭包不变性。
• 统一并推广关于曲线凸包与多项式映射像的结果。
• 为多项式优化中的 Lasserre 与 theta 体松弛方法提供构造性框架。

提出的方法

• 引入一个二次模结构，记为 $\operatorname{QM}(\mathscr{A})_d$，由线性矩阵多项式 $\mathscr{A}$ 构建，用于捕捉带约束的平方和。
• 利用 Carathéodory 定理将矩阵多项式表示为有限个秩一形式的和，实现有限维逼近。
• 通过线性映射和由正交性条件 $B_i \circ M = 0$ 定义的线性子空间，实现谱多面体的投影。
• 证明 $\operatorname{QM}(\mathscr{A})_d$ 居于有限维子空间中，且是谱多面体的投影。
• 采用提升技术：存在一个谱多面体 $\widetilde{S} \subseteq \mathbb{R}^{n+m}$，其投影为 $\overline{\operatorname{conv}(S)}$，从而实现正性证书的构造。
• 证明任意谱多面体投影的闭包仍是谱多面体的投影，利用有限维逼近与凸包性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非基本闭半代数集的谱多面体投影建立 Positivstellensatz？
• RQ2 当 Lasserre 与 theta 体松弛方法应用于一般半代数集与代数簇时，其局限性是什么？
• RQ3 谱多面体投影的闭包是否仍是谱多面体的投影？
• RQ4 曲线的凸包或多项式映射的像能否被表征为谱多面体的投影？
• RQ5 一个凸集是谱多面体投影的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 谱多面体投影的闭包仍是谱多面体的投影，解决了凸代数几何中的基础性问题。
• 为谱多面体投影证明了一个新的 Positivstellensatz，表明此类集合上每个严格正多项式均为平方和加上特定矩阵多项式项的线性组合。
• 本文通过构造 [17] 中非暴露面的显式例子，解决了其中的开放问题。
• 为曲线凸包与多项式映射像的结果提供了统一论述，表明它们均为谱多面体的投影。
• 证明了有限维截断 $\operatorname{QM}(\mathscr{A})_d$ 是谱多面体的投影，从而支持有限维优化方法的应用。
• 建立了凸集为谱多面体投影的等价条件：即存在嵌套的、有限维的、与谱多面体投影兼容的二次模结构。