[论文解读] Positively ratioed representations

Giuseppe Martone, Tengren Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文引入了正比表示——具有关联交叉比正性条件的 $[P]$-Anosov 表示——用于非紧致半单实代数群中的曲面群同态。通过测地测度，建立了明确定义的长度函数，并证明了适用于所有此类表示的统一系统不等式，推广了经典 Teichmüller 理论结果，并将其扩展至高秩情形。

ABSTRACT

Let S be a closed orientable surface of genus at least 2 and let G be a semisimple real algebraic group of non-compact type. We consider a class of representations from the fundamental group of S to G called positively ratioed representations. These are Anosov representations with the additional condition that certain associated cross ratios satisfy a positivity property. Examples of such representations include Hitchin representations and maximal representations. Using geodesic currents, we show that the corresponding length functions for these positively ratioed representations are well-behaved. In particular, we prove a systolic inequality that holds for all such positively ratioed representations.

研究动机与目标

• 定义并研究一类新表示——正比表示——以推广 Hitchin 表示和极大表示。
• 将 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 的经典长度函数与交集测度形式化推广至高秩半单群。
• 建立对所有此类表示均成立的统一系统不等式，推广 Teichmüller 理论中的结果。
• 利用测地测度作为工具，在一般 $[P]$-Anosov 表示缺乏全局测度的情况下分析长度函数。
• 为研究高秩李群中表示的渐近行为与几何不变量提供一个框架。

提出的方法

• 通过受限基本权定义的关联交叉比中的正性，引入 $[P]$-正比表示的概念，作为 $[P]$-Anosov 表示的一种推广。
• 借助 Bonahon 及其他人的工作，在测地测度空间 $\mathcal{C}(S)$ 上定义连续的双线性交集配对。
• 证明对每个 $\alpha \in \theta$，存在唯一的测地测度 $\mu^\rho_\alpha$，使得对所有 $c \in \mathcal{C}\mathcal{G}(S)$ 有 $i(\mu^\rho_\alpha, c) = \ell^\rho_\alpha(c)$，从而推广了双曲交集测度。
• 利用此类测度的存在性，将长度函数相关问题转化为测度的几何性质问题。
• 应用 Stirling 公式与渐近分析，控制计数有界长度闭测地线时出现的二项式系数。
• 通过涉及 $Q$、$F$、$K$ 和 $L$ 的不等式推导闭测地线数量的增长界，从而导出统一系统不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过测地测度将 $[P]$-Anosov 表示的长度函数推广至 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ 之外？
• RQ2 在正比表示背景下，有界长度闭测地线数量的渐近增长速率为何？
• RQ3 是否存在一个对给定高秩李群中所有正比表示均成立的统一系统不等式？
• RQ4 交叉比的正性与关联测地测度的存在性和唯一性之间有何关系？
• RQ5 当长度界 $T \to \infty$ 时，比值 $\frac{F}{Q}$ 的精确渐近行为是什么？

主要发现

• 对任意 $[P]$-正比表示 $\rho$，存在唯一的测地测度 $\mu^\rho_\alpha$，使得对所有 $c \in \mathcal{C}\mathcal{G}(S)$ 有 $i(\mu^\rho_\alpha, c) = \ell^\rho_\alpha(c)$，从而推广了双曲交集测度。
• 系统不等式 $\ell^\rho_\alpha(c) \geq \frac{1}{D} \cdot \ell^\rho_{\mathrm{hyp}}(c)$ 对所有 $c \in \mathcal{C}\mathcal{G}(S)$ 一致成立，其中 $D$ 是依赖于群和根系的正实数。
• 极限 $\limsup_{T \to \infty} \frac{F}{Q} = D$ 存在，且上界为 $\frac{1}{x_0}$，其中 $x_0$ 是方程 $(1 + x)^a x = 1$ 的唯一正解，且 $a = \lceil \frac{K}{L} - 1 \rceil$。
• 通过二项式系数估计控制长度 $\leq T$ 的闭测地线数量的渐近增长，从而得到不等式 $\limsup_{T \to \infty} \frac{K}{T} \log \binom{F + Q}{Q} \leq \log\left(1 + \frac{1}{x_0}\right) + 1$。
• 分析表明，$\liminf_{T \to \infty} \frac{Q}{F} = 0$ 与 $\limsup_{T \to \infty} \frac{Q}{F} = \infty$ 不可能同时成立，除非 $D$ 有限且有界。
• 通过结合二项式系数的渐近控制与长度函数的正性和增长性质，最终确立了统一系统不等式。