[论文解读] Positivity and higher Teichm\\"uller theory

Olivier Guichard, Anna Wienhard|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用 23

一句话总结

本文引入了Θ-正性，这是实半单李群中一种广义的正性概念，扩展了Lusztig的完全正性和赫尔米特李群中的正性。它识别出两个新族——当p≠q时的SO(p,q)以及具有F₄限制根系的例外群——其具有Θ-正性结构，并推测表面群到这些群的Θ-正性表示将产生新的高阶Teichmüller空间。

ABSTRACT

We introduce $\\Theta$-positivity, a new notion of positivity in real semisimple Lie groups. The notion of $\\Theta$-positivity generalizes at the same time Lusztig's total positivity in split real Lie groups as well as well known concepts of positivity in Lie groups of Hermitian type. We show that there are two other families of Lie groups, SO(p,q) for p<q, and a family of exceptional Lie groups, which admit a $\\Theta$-positive structure. We describe key aspects of $\\Theta$-positivity and make a connection with representations of surface groups and higher Teichm\\"uller theory.

研究动机与目标

• 将Lusztig的完全正性和赫尔米特李群中的正性统一推广到非分裂实半单李群的适用框架。
• 对所有具有Θ-正性结构的半单李群进行分类，将已知情况从分裂型和赫尔米特型扩展至更广范围。
• 提出一类新的表示——表面群的Θ-正性表示，作为Hitchin表示和极大表示的推广。
• 推测到新识别出的李群中，Θ-正性表示将产生新的高阶Teichmüller空间。
• 建立Θ-正性、Anosov表示与表示簇中拓扑不变量之间的联系。

提出的方法

• 通过与抛物子群P_Θ相关联的固定正根集来定义Θ-正性，推广旗流形中正性的概念。
• 利用广义Maslov指标刻画与群G相关的对称空间的Shilov边界中三元组的正性。
• 构造一个ρ-等变映射ξ: ℝℙ¹ → G/P_Θ，将ℝℙ¹中的正定向三元组映射到旗流形G/P_Θ中的Θ-正性三元组。
• 应用Anosov表示理论分析Θ-正性表示的动力学性质。
• 借助Higgs丛理论与几何不变量，推测表示簇中存在额外的连通分支。
• 利用受限根系结构，特别是F₄型，对具有Θ-正性结构的例外李群进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 除分裂实李群和赫尔米特型李群外，哪些实半单李群具有Θ-正性结构？
• RQ2 是否可以以一种同时推广Hitchin表示和极大表示的方式定义表面群的Θ-正性表示？
• RQ3 到SO(p,q)（p≠q）和具有F₄根系的例外群的Θ-正性表示是否在表示簇中构成开集与闭集？
• RQ4 如文中所猜想，所有Θ-正性表示是否都是P_Θ-Anosov表示？
• RQ5 Θ-正性表示是否会产生表示簇中未被特征类所探测到的新连通分支？

主要发现

• 本文识别出两类具有Θ-正性结构的新李群族：当p≠q时的SO(p,q)，以及具有F₄限制根系的F₄、E₆、E₇、E₈的实形式。
• Θ-正性同时推广了分裂实群中Lusztig的完全正性和赫尔米特李群（管型与非管型）中的经典正性。
• 作者提出将Θ-正性表示定义为从表面群边界到旗流形G/P_Θ的ρ-等变映射，且保持三元组的正性。
• 猜想5.4指出所有Θ-正性表示均为P_Θ-Anosov表示，意味着其离散且具有良好的动力学行为。
• Θ-正性表示的集合在表示簇Hom(π₁(Σ_g), G)/G中被推测为开集与闭集，暗示其具有丰富的拓扑结构。
• 对于SO(n,n+1)，通过Collier等人使用Higgs丛技术的工作，部分证实了除特征类外还存在额外的连通分支。