[论文解读] Positivity for toric vector bundles

Milena Hering, Mircea Mustaţă+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 7

一句话总结

本论文证明了在完备toric代数簇上，torus-等变向量丛的nef性与ample性可通过其在同构于ℙ¹的不变曲线上的限制来检验。关键贡献在于，通过这些曲线上其线丛分量的次数，对nef与ample的toric向量丛给出了刻画，将经典线丛结果推广至高秩丛。

ABSTRACT

We show that an equivariant vector bundle on a complete toric variety is nef or ample if and only if its restriction to every invariant curve is nef or ample, respectively. Furthermore, we show that nef toric vector bundles have a nonvanishing global section at every point, and deduce that the underlying vector bundle is trivial if and only if its restriction to every invariant curve is trivial. We apply our methods and results to study, in particular, the vector bundles M_L that arise as the kernel of the evaluation map on sections of L, when L is an ample line bundle. We give examples of twists of such bundles that are ample but not globally generated.

研究动机与目标

• 将toric代数簇上线丛的正性准则推广至高秩toric向量丛。
• 确定equivariant向量丛的nef性与ample性是否可在不变曲线上被检测到。
• 研究nef toric向量丛在每一点是否存在非零全局截面。
• 通过其在不变曲线上的限制刻画toric向量丛的平凡性。
• 分析由ample线丛L的评价映射核构造出的丛$\mathcal{M}_L$。

提出的方法

• 利用Payne提出的分段线性滤链族对toric向量丛进行分类。
• 应用Klyachko通过cocharacter格上滤链对toric向量丛的分类方法。
• 将toric向量丛$\mathcal{E}$在不变曲线$C \cong \mathbb{P}^1$上的限制刻画为线丛$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(a_i)$的直和。
• 利用条件：当且仅当所有$a_i \geq 0$（相应地，$a_i > 0$）时，$\mathcal{E}|_C$为nef（相应地，ample），以检验全局正性。
• 利用滤链描述推导出nef toric向量丛在$X$中任意点处均存在非零的全局截面。
• 将该刻画应用于研究$\mathcal{M}_L = \ker(H^0(X,L) \otimes \mathcal{O}_X \to L)$（其中$L$为ample），并构造出ample但非全局生成的丛的例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完备toric代数簇上，torus-等变向量丛的nef性与ample性是否可由其在不变曲线上的限制来确定？
• RQ2 nef toric向量丛是否总在任意给定点处存在非零全局截面？
• RQ3 当且仅当其在每条不变曲线上均为平凡丛时，toric向量丛是否为平凡丛？
• RQ4 是否存在ample但非全局生成的toric向量丛？
• RQ5 作为ample线丛$L$的评价映射核构造出的丛$\mathcal{M}_L$具有何种正性性质？

主要发现

• 在完备toric代数簇上，torus-等变向量丛$\mathcal{E}$为nef（相应地，ample）当且仅当其在每条不变曲线上均为nef（相应地，ample）。
• 对任意nef toric向量丛$\mathcal{E}$与任意点$x \in X$，存在$\mathcal{E}$的一个全局截面在$x$处不为零。
• toric向量丛$\mathcal{E}$作为向量丛是平凡的，当且仅当其在每条不变曲线上均为平凡的。
• 与ample线丛$L$相关的丛$\mathcal{M}_L$在每条不变曲线$C$上的限制满足$\mathcal{M}_L|_C \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus a} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)^{\oplus b}$。
• 对任意ample线丛$L'$，张量丛$\mathcal{M}_L \otimes L'$为nef，即使$\mathcal{M}_L$本身可能不是全局生成的。
• 构造出了ample但非全局生成的toric向量丛的例子，表明在高秩情形下，ample性不蕴含全局生成性。