[论文解读] Positivity-preserving and entropy-bounded discontinuous Galerkin method for the chemically reacting, compressible Euler equations. Part I: The one-dimensional case

Eric J. Ching, Ryan F. Johnson+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2022

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 99被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种针对多组分、化学反应性可压缩欧拉方程的高阶、完全保守的间断伽辽金方法，该方法确保密度、压力和物种浓度的正性，同时对熵进行约束以抑制非线性不稳定性。该方法结合了线性增长的限制器与通过对角范数求和分解算子实现的熵稳定时间积分，从而在一维测试案例（包括爆炸波和激波管）中实现了最优收敛性和鲁棒性。

ABSTRACT

In this paper, we develop a fully conservative, positivity-preserving, and entropy-bounded discontinuous Galerkin scheme for simulating the chemically reacting, compressible Euler equations with complex thermodynamics. The proposed formulation is an extension of the conservative, high-order numerical method previously developed by Johnson and Kercher [J. Comput. Phys., 423 (2020), 109826] that maintains pressure equilibrium between adjacent elements. In this first part of our two-part paper, we focus on the one-dimensional case. Our methodology is rooted in the minimum entropy principle satisfied by entropy solutions to the multicomponent, compressible Euler equations, which was proved by Gouasmi et al. [ESAIM: Math. Model. Numer. Anal., 54 (2020), 373--389] for nonreacting flows. We first show that the minimum entropy principle holds in the reacting case as well. Next, we introduce the ingredients required for the solution to have nonnegative species concentrations, positive density, positive pressure, and bounded entropy. We also discuss how to retain the aforementioned ability to preserve pressure equilibrium between elements. Operator splitting is employed to handle stiff chemical reactions. To guarantee satisfaction of the minimum entropy principle in the reaction step, we develop an entropy-stable discontinuous Galerkin method based on diagonal-norm summation-by-parts operators for solving ordinary differential equations. The developed formulation is used to compute canonical one-dimensional test cases, namely thermal-bubble advection, multicomponent shock-tube flow, and a moving hydrogen-oxygen detonation wave with detailed chemistry. We find that the enforcement of an entropy bound can considerably reduce the large-scale nonlinear instabilities that emerge when only the positivity property is enforced, to an even greater extent than in the monocomponent, calorically perfect case.

研究动机与目标

• 解决多组分、具有复杂热力学性质的反应性可压缩流高阶模拟中的非线性不稳定性问题。
• 克服保守格式中常见的虚假压力振荡和负物种浓度问题。
• 开发一种框架，以保持质量、总能量和原子元素守恒，同时施加物理解约束。
• 通过离散满足最小熵原理来稳定刚性、反应性流动。
• 将先前的保守DG格式扩展，以包含正性与熵界约束，从而实现对爆炸波和激波的鲁棒、高阶模拟。

提出的方法

• 证明多组分、化学反应性欧拉方程的最小熵原理，将先前针对非反应流的结果扩展至反应流。
• 实现一种线性增长的限制器，以强制实现非负物种浓度、正密度、正压力和有界熵。
• 通过利用Johnson和Kercher（2020）提出的连续通量公式，确保元素间压力平衡。
• 采用Strang分裂法解耦对流项与刚性化学源项，以实现高效的时序积分。
• 基于对角范数求和分解算子和熵守恒的两点数值通量，开发用于常微分方程的熵稳定DG方法。
• 应用人工黏性以抑制线性限制器未能完全抑制的小尺度振荡。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小熵原理能否扩展至多组分、化学反应性可压缩欧拉方程？
• RQ2 与单组分情况相比，线性增长限制器在多组分反应流中维持正性和有界熵的效率如何？
• RQ3 施加熵界是否能显著减少复杂反应流高阶模拟中的大尺度非线性不稳定性？
• RQ4 所提方法是否能在一维测试案例中实现最优高阶收敛性，同时保持守恒性与物理解约束？
• RQ5 在具有强熵梯度的区域中，局部熵界与全局熵界的表现如何比较？

主要发现

• 最小熵原理适用于化学反应性、多组分可压缩欧拉方程，为其作为离散稳定性准则提供了理论依据。
• 正性保持限制器可防止激波管和热泡流中的求解器崩溃，但若无额外稳定化措施，仍存在大尺度振荡。
• 与单组分、理想热力学流相比，熵限制器在热力学完美、多组分系统中表现出更显著的相对稳定性提升效果。
• 在具有强空间熵变的区域（如爆炸波中），局部熵界优于全局熵界。
• 在平滑流动中，该方法在热泡对流测试案例中实现了最优高阶收敛性。
• 在所有测试案例中，包括包含详细化学机理的氢氧爆炸，质量、总能量和原子元素的离散守恒性均得到验证。