[论文解读] Post-Critically Finite Maps on $\mathbb{P}^n$ for $n\ge2$ are Sparse

Patrick Ingram, Rohini Ramadas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 5

一句话总结

该论文证明了当 $ n \geq 2 $ 且次数 $ d \geq 3 $ 时，$ \mathbb{P}^n $ 上的后临界有限（PCF）映射若尾长至多为 2，则在参数空间 $ \operatorname{End}_d^n $ 中是稀疏的，即位于一个真 Zariski 闭子集内。结果表明此类映射并非 Zariski 稠密，与一维情形中 PCF 映射是稠密的形成鲜明对比，揭示了高维动力系统中行为的根本差异。

ABSTRACT

Let $f:{\mathbb P}^n o{\mathbb P}^n$ be a morphism of degree $d\ge2$. The map $f$ is said to be post-critically finite (PCF) if there exist integers $k\ge1$ and $\ell\ge0$ such that the critical locus $\operatorname{Crit}_f$ satisfies $f^{k+\ell}(\operatorname{Crit}_f)\subseteq{f^\ell(\operatorname{Crit}_f)}$. The smallest such $\ell$ is called the tail-length. We prove that for $d\ge3$ and $n\ge2$, the set of PCF maps $f$ with tail-length at most $2$ is not Zariski dense in the the parameter space of all such maps. In particular, maps with periodic critical loci, i.e., with $\ell=0$, are not Zariski dense.

研究动机与目标

• 研究 $ n \geq 2 $ 时，$ \mathbb{P}^n $ 上自同态参数空间中后临界有限（PCF）映射的稠密性。
• 理解为何在高维情形中 PCF 映射预期比一维情形更稀少，而后者中已知其为 Zariski 稠密。
• 证明当 $ d \geq 3 $ 且 $ n \geq 2 $ 时，尾长至多为 2 的 PCF 映射集合在 $ \operatorname{End}_d^n $ 中非 Zariski 稠密。
• 为猜想提供证据：任意固定尾长的 PCF 映射在高维中均为稀疏的。
• 建立关于临界簇几何及其前向轨道在高维动力系统中基本结果。

提出的方法

• 作者通过条件 $ f^{k+\ell}(\operatorname{Crit}_f) \subseteq f^\ell(\operatorname{Crit}_f) $ 定义 $ \mathbb{P}^n $ 上的 PCF 映射，其中 $ \ell $ 为尾长。
• 他们利用临界簇 $ \operatorname{Crit}_f $ 由雅可比行列式消失所定义的事实，研究其几何性质，包括其一般型与奇点。
• 他们应用代数几何中的结果，特别是行列式簇及其 Kodaira 维数的理论，证明当 $ d \geq 3 $ 时，在弱条件下 $ \operatorname{Crit}_f $ 为一般型。
• 他们构造了一个映射 $ f_0 \in \operatorname{End}_d^n $，满足关键几何条件：不可约的临界簇为一般型，其在分支簇上的映射几乎处处为 1 对 1，且在临界簇上具有重数 2。
• 通过在形式幂级数环 $ \mathbb{F}[[t]] $ 上的形变理论与单值性论证，他们表明临界簇像中某些点构型无法在小扰动下实现。
• 他们应用命题 24，该命题利用这些几何约束得出结论：满足尾长 $ \leq 2 $ 的 PCF 条件的映射集合位于 $ \operatorname{End}_d^n $ 的一个真闭子簇内。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ n \geq 2 $ 且 $ d \geq 3 $ 的 $ \mathbb{P}^n $ 上的后临界有限映射，其在参数空间 $ \operatorname{End}_d^n $ 中是否为 Zariski 稠密？
• RQ2 为何在高维中 PCF 映射预期比在 $ \mathbb{P}^1 $ 中更稀少，而后者中已知其为稠密？
• RQ3 能否利用临界簇及其前向轨道的几何性质来证明高维中 PCF 映射的稀疏性？
• RQ4 固定尾长 $ \ell \geq 1 $ 的 PCF 映射集合是否包含于 $ \operatorname{End}_d^n $ 的一个真 Zariski 闭子集内？
• RQ5 为使 $ f^k(\operatorname{Crit}_f) \subseteq f^\ell(\operatorname{Crit}_f) $ 对所有 $ k > \ell $ 成立，对 $ f $、$ \operatorname{Crit}_f $ 及 $ f|_{\operatorname{Crit}_f} $ 必须满足哪些几何条件？

主要发现

• 当 $ d \geq 3 $ 且 $ n \geq 2 $ 时，尾长至多为 2 的后临界有限映射集合在 $ \operatorname{End}_d^n $ 中非 Zariski 稠密，且位于一个真 Zariski 闭子集内。
• 特别地，后临界周期映射（尾长 $ \ell = 0 $）在 $ d \geq 3 $、$ n \geq 2 $ 时也非 $ \operatorname{End}_d^n $ 中的 Zariski 稠密集。
• 对于 $ d \geq 3 $、$ n \geq 2 $ 的 $ \operatorname{End}_d^n $ 中的通用映射，其临界簇 $ \operatorname{Crit}_f $ 是一个不可约的一般型代数簇。
• 作者构造了一个映射 $ f_0 \in \operatorname{End}_d^n $，满足命题 24 对 $ \ell = 2 $ 的假设，包括 $ f_0|_{\operatorname{\mathcal{B}}_{f_0}} $ 几乎处处为 1 对 1，且 $ f_0 $ 在 $ \operatorname{Crit}_{f_0} $ 上具有重数 2。
• 通过在 $ \mathbb{F}[[t]] $ 上的单值性与形变论证，他们表明临界簇像中某些点构型无法在小扰动下实现，从而表明其稀疏性。
• 该结果支持如下猜想：对任意固定的 $ \ell \geq 1 $，尾长为 $ \ell $ 的 PCF 映射集合包含于 $ \operatorname{End}_d^n $ 的一个真 Zariski 闭子集中。