[论文解读] Post-Newtonian Description of Quantum Systems in Gravitational Fields

Philip K. Schwartz|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 71被引用 5

一句话总结

本论文基于几何背景结构与一致的量子化方法，首次从第一性原理出发，系统推导了弱引力场中的后牛顿量子力学。推导出外电磁场与引力场中两粒子量子系统的首阶后牛顿哈密顿量，表明正则量子化与克莱因-高产展开在动量的一阶范围内一致，并证明了牛顿-温格位置可观测量的经典唯一性定理。

ABSTRACT

This thesis deals with the systematic treatment of quantum-mechanical systems in post-Newtonian gravitational fields. Starting from clearly spelled-out assumptions, employing a framework of geometric background structures defining the notion of a post-Newtonian expansion, our systematic approach allows to properly derive the post-Newtonian coupling of quantum-mechanical systems to gravity based on first principles. This sets it apart from more heuristic approaches that are commonly employed, for example, in the description of quantum-optical experiments under gravity. Regarding single particles, we compare simple canonical quantisation of a free particle in curved spacetime to formal expansions of the minimally coupled Klein-Gordon equation, which may be motivated from QFT in curved spacetimes. Specifically, we develop a general WKB-like post-Newtonian expansion of the KG equation to arbitrary order in $c^{-1}$. Furthermore, for stationary spacetimes, we show that the Hamiltonians arising from expansions of the KG equation and from canonical quantisation agree up to linear order in particle momentum, independent of any expansion in $c^{-1}$. Concerning composite systems, we perform a fully detailed systematic derivation of the first order post-Newtonian quantum Hamiltonian describing the dynamics of an electromagnetically bound two-particle system situated in external electromagnetic and gravitational fields, the latter being described by the Eddington-Robertson PPN metric. In the last, independent part of the thesis, we prove two uniqueness results characterising the Newton--Wigner position observable for Poincaré-invariant classical Hamiltonian systems: one is a direct classical analogue of the quantum Newton--Wigner theorem, and the other clarifies the geometric interpretation of the Newton--Wigner position as `centre of spin', as proposed by Fleming in 1965.

研究动机与目标

• 为后牛顿展开与弱引力场建立几何框架。
• 从第一性原理系统推导量子系统与引力的耦合，避免启发式近似。
• 通过爱丁顿-罗伯逊度规扩展先前关于两粒子系统的研究所涵盖的后牛顿引力。
• 证明牛顿-温格位置可观测量的经典唯一性定理，澄清其作为“自旋中心”的几何解释。

提出的方法

• 利用几何背景结构定义后牛顿展开与弱引力场。
• 将正则量子化应用于弯曲时空中的自由粒子，并与最小耦合克莱因-高产方程的形式展开进行比较。
• 推导克莱因-高产方程的一般类WKB后牛顿展开，适用于任意阶的1/c展开。
• 推导外电磁场与引力场中电磁束缚两粒子系统的首阶后牛顿哈密顿量。
• 利用爱丁顿-罗伯逊参数化后牛顿度规引入弱引力场。
• 在庞加莱不变的经典哈密顿系统中，证明牛顿-温格位置可观测量的两个唯一性结果：其一为量子定理的经典类比，其二澄清其解释为“自旋中心”。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从第一性原理出发，而非通过启发式假设，推导出量子系统与引力的自洽后牛顿耦合？
• RQ2 在静态时空下，通过正则量子化与克莱因-高产方程展开得到的哈密顿量在多大程度上一致？其一致性可保持到动量的几阶？
• RQ3 在外部电磁场与引力场中，由电磁力束缚的两粒子量子系统的首阶后牛顿哈密顿量形式为何？
• RQ4 牛顿-温格位置可观测量在经典哈密顿系统中的几何意义是什么？如何唯一地刻画它？
• RQ5 能否提出并证明量子牛顿-温格定理的经典类比？

主要发现

• 在静态时空下，通过正则量子化与克莱因-高产方程展开得到的哈密顿量在粒子动量的一阶范围内一致，且不依赖于任何1/c展开。
• 推导出克莱因-高产方程的一般类WKB后牛顿展开，适用于任意阶的1/c展开，为高阶修正提供了系统性框架。
• 完整推导出外电磁场与引力场中两粒子系统的首阶后牛顿哈密顿量，扩展了Sonnleitner与Barnett的工作，通过爱丁顿-罗伯逊度规引入弱引力场。
• 在经典庞加莱不变系统中，牛顿-温格位置可观测量被唯一刻画为“自旋中心”，证实了Fleming于1965年提出的猜想。
• 证明了量子牛顿-温格定理的经典类比，建立了经典与量子局域化理论之间的直接联系。
• 该框架为后牛顿量子力学提供了严格的第一性原理推导，与量子光学实验中在引力场下使用的启发式方法形成鲜明对比。