[论文解读] Hamiltonian formulation of general relativity and post-Newtonian dynamics of compact binaries

Gerhard Schäfer, P. Jaranowski|arXiv (Cornell University)|May 18, 2018

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 362被引用 117

一句话总结

本文提出了一种针对致密双星系统的广义相对论的全面哈密顿形式化，采用ADM形式化和Routhian约化方法，推导出高达5.5PN阶次的保守与耗散后牛顿动力学。通过维度正规化方法，实现了高阶自旋和潮汐相互作用的一致性，并给出了无自旋和有自旋双星的显式哈密顿量，包括首次计算的4PN尾项贡献和5.5PN辐射阻尼效应。

ABSTRACT

Hamiltonian formalisms provide powerful tools for the computation of approximate analytic solutions of the Einstein field equations. The post-Newtonian computations of the explicit analytic dynamics and motion of compact binaries are discussed within the most often applied Arnowitt-Deser-Misner formalism. The obtention of autonomous Hamiltonians is achieved by the transition to Routhians. Order reduction of higher derivative Hamiltonians results in standard Hamiltonians. Tetrad representation of general relativity is introduced for the tackling of compact binaries with spinning components. Compact objects are modeled by use of Dirac delta functions and their derivatives. Consistency is achieved through transition to $d$-dimensional space and application of dimensional regularization. At the fourth post-Newtonian level, tail contributions to the binding energy show up for the first time. The conservative dynamics of binary systems finds explicit presentation and discussion through the fifth post-Newtonian order for spinless masses. For masses with spin Hamiltonians are known through (next-to)$^3$-leading-order spin-orbit and spin-spin couplings as well as through next-to-leading order cubic and quartic in spin interactions. Parts of those are given explicitly. Tidal-interaction Hamiltonians are considered through (next-to)$^2$-leading post-Newtonian order. The radiation reaction dynamics is presented explicitly through the third-and-half post-Newtonian order for spinless objects, and, for spinning bodies, to leading-order in the spin-orbit and spin1-spin2 couplings. The most important historical issues get pointed out.

研究动机与目标

• 为广义相对论中致密双星系统的后牛顿动力学建立一致的哈密顿框架。
• 通过维度正规化和分布导数方法，解决点质量系统高阶动力学中的不一致性问题。
• 推导出高达5.5PN阶次的无自旋和有自旋双星的显式保守与耗散哈密顿量。
• 通过下一阶及更高阶项，系统地引入自旋-轨道、自旋-自旋和潮汐相互作用。
• 首次呈现显式的4PN尾哈密顿量和无自旋系统在5.5PN阶次的辐射阻尼动力学。

提出的方法

• 以Arnowitt–Deser–Misner (ADM) 哈密顿形式化为基础，构建正则动力学框架。
• 应用Routhian约化方法，将高阶导数哈密顿量转化为自治标准哈密顿量。
• 采用d维空间和维度正规化方法，处理点粒子奇点引起的发散，并确保一致性。
• 通过应力-能量张量中的Dirac delta函数及其导数来建模致密天体。
• 引入扩展的Hadamard和Riesz-正则化分布，以处理场方程中非局部和奇异项。
• 在共形平坦和场动量截断条件下，推导出双黑洞系统的骨架哈密顿量，实现解析后牛顿展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在高阶后牛顿阶次下，为广义相对论中的致密双星系统构建一致的哈密顿形式化？
• RQ2 维度正规化在解决高阶自旋和潮汐相互作用中点粒子奇点引起的发散问题中起到什么作用？
• RQ3 非局部尾效应首次在哪个后牛顿阶次出现在结合能中，以及如何将其纳入哈密顿量？
• RQ4 自旋-轨道和自旋-自旋耦合如何通过哈密顿量中的下一阶及更高阶项系统地推导？
• RQ5 5.5PN阶次的辐射阻尼哈密顿量具有何种结构，其对有自旋和无自旋双星的动力学产生何种影响？

主要发现

• 4PN阶次的结合能首次包含非局部尾项贡献，通过维度正规化显式推导得出。
• 无自旋双星的保守动力学完整呈现至5.5PN阶次，显式哈密顿量达5PN阶次，辐射阻尼效应达5.5PN阶次。
• 自旋相关哈密顿量推导至下一阶3-领先阶次的自旋-轨道和自旋-自旋耦合，包含立方和四次自旋项。
• 潮汐相互作用哈密顿量构建至（下一阶）2-领先后牛顿阶次，支持可变形致密天体的建模。
• 双黑洞的骨架哈密顿量提供了一个完全解析、共形平坦且可后牛顿展开的模型，能重现3PN结果，并与Brill-Lindquist初始数据一致。
• 3PN精度的骨架哈密顿量能准确重现广义相对论的结合能至3PN阶次，与Isenberg–Wilson–Mathews方法的偏差源于场动量截断。