[论文解读] Post-Newtonian theory and the two-body problem

Luc Blanchet|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2009

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 63被引用 9

一句话总结

本文系统综述了广义相对论中双体问题的后牛顿（PN）理论，重点研究了致密双星系统高阶近似。文中详细推导了保守动力学的3PN阶方程和辐射阻尼的5.5PN阶方程，实现了对旋进双星系统的高精度建模，对当前及未来引力波探测器中的引力波探测与参数估计至关重要。

ABSTRACT

Reliable predictions of general relativity theory are extracted using approximation methods. Among these, the powerful post-Newtonian approximation provides us with our best insights into the problems of motion and gravitational radiation of systems of compact objects. This approximation has reached an impressive mature status, because of important progress regarding its theoretical foundations, and the successful construction of templates of gravitational waves emitted by inspiralling compact binaries. The post-Newtonian predictions are routinely used for searching and analyzing the very weak signals of gravitational waves in current generations of detectors. High-accuracy comparisons with the results of numerical simulations for the merger and ring-down of binary black holes are going on. In this article we give an overview on the general formulation of the post-Newtonian approximation and present up-to-date results for the templates of compact binary inspiral.

研究动机与目标

• 为广义相对论中双体问题的后牛顿理论提供统一且更新的表述形式。
• 解决PN近似中的基础性挑战，包括发散积分问题以及缺乏严格的数学基础。
• 为致密双星旋进提供高精度波形，这对于匹配滤波在引力波探测中的应用至关重要。
• 将自旋效应纳入运动方程和辐射场中，最高至1.5PN和2.5PN阶，包含自旋-轨道与自旋-自旋贡献。
• 实现轨道相位演化的精确建模，包括进动效应，用于引力波模板库的构建。

提出的方法

• 将后牛顿展开形式化为$ v/c $的幂级数展开，适用于近场区域$ r \ll \lambda $。
• 采用正则化程序处理点质量粒子的发散自场，从而实现对致密物体的一致处理。
• 通过1PN阶修正自旋矢量，推导出有效自旋变量$\mathbf{S}^{\text{c}}_A$，确保其在进动过程中模长保持不变。
• 计算自旋进动频率$\bm{\Omega}_A$，并为双体系统引入守恒的自旋组合$\mathbf{S}^{\text{c}}$和$\bm{\Sigma}^{\text{c}}$。
• 推导修正的轨道能量$E = E_{\text{mono}} + E_{\text{spin}}$与引力波通量$\mathcal{F} = \mathcal{F}_{\text{mono}} + \mathcal{F}_{\text{spin}}$，其中自旋修正项分别位于1.5PN和2.5PN阶。
• 通过能量平衡方程积分轨道相位，构建引力波相位$\Phi_{\mathrm{GW}} = \phi_{\mathrm{GW}} + \delta\phi_{\mathrm{GW}}$，并通过数值积分引入进动修正。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地建立后牛顿近似，使其具备清晰的数学基础并实现一致的正则化？
• RQ2 致密双星系统在高阶下，运动方程与引力波辐射的修正项是什么，包括自旋效应？
• RQ3 自旋-轨道与自旋-自旋相互作用在1.5PN和2.5PN阶如何改变轨道能量与引力波通量？
• RQ4 自旋诱导的进动对非共线自旋系统中引力波相位演化有何影响？
• RQ5 如何利用所得波形构建用于引力波探测器中匹配滤波的高精度模板？

主要发现

• 后牛顿近似成功扩展至保守动力学的3PN阶与辐射阻尼的5.5PN阶，实现了对致密双星旋进的高精度建模。
• 轨道能量中的自旋-轨道贡献为$E_{\text{spin}} = -\frac{c^2}{2Gm}\nu x \left\{ x^{3/2} \left[ \frac{14}{3} S^\text{c}_\mathrm{z} + 2\Delta \Sigma^\text{c}_\mathrm{z} \right] + \cdots \right\} + \mathcal{O}(c^{-6}) $，适用于准圆形轨道。
• 引力波通量受自旋效应修正，表达式为$\mathcal{F}_{\text{spin}} = \frac{32c^5}{5G^2m^2}\nu^2 x^5 \left\{ x^{3/2} \left[ -4S^\text{c}_\mathrm{z} - \frac{5}{4}\Delta \Sigma^\text{c}_\mathrm{z} \right] + \cdots \right\} + \mathcal{O}(c^{-6}) $。
• 轨道相位演化通过积分修正后的轨道频率准确捕捉，进动效应通过$\delta\phi_{\mathrm{GW}}$的数值积分实现。
• 载波相位$\phi_{\mathrm{GW}} = 2\phi$是引力波相位的主要成分，进动引起的平面预cession带来修正。
• 该形式化为构建LIGO/Virgo及未来引力波探测器中用于匹配滤波的高精度波形提供了可靠基础。