[论文解读] Post-Riemannian Merger of Yang-Mills Interactions with Gravity

Orli Megged|ArXiv.org|Aug 17, 2000

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种后黎曼时空框架，通过将内部对称性的自由度直接嵌入到时空几何中，利用合并的联络1-形式，统一了杨-米尔斯规范场与引力。该构造在保持内部规范不变性的同时，将爱因斯坦方程重新表述为包含杨-米尔斯场强作为几何源项的形式，揭示了在威尔-嘉当时空中亚引力尺度下的相互作用。

ABSTRACT

We show that a post-Riemannian spacetime can accommodate an internal symmetry structure of the Yang-Mills prototype in such a way that the internal symmetry becomes an integral part of the spacetime itself. The construction encrusts the internal degrees of freedom in spacetime in a manner that merges the gauging of these degrees of freedom with the frame geometrical gauges of spacetime. In particular, we prove that the three spacetime structural identities, which now become ``contaminated'' by internal degrees of freedom, remain invariant with respect to internal gauge transformations. In a Weyl Cartan spacetime, the theory regains the original form of Einstein's equations, in which gauge field sources on the r.h.s. determine on the l.h.s the geometry of spacetime and the fields it induces. In the more general case we identify new contributions of weak magnitude in the interaction between the Yang-Mills field and gravity. The merger of spacetime with internal degrees of freedom which we propose here is not constrained by the usual Coleman-Mandula considerations.

研究动机与目标

• 通过在黎曼结构之外将内部对称性嵌入时空几何，统一杨-米尔斯规范理论与广义相对论。
• 证明即使内部自由度被编码在时空的扭量与非度量性中，内部规范不变性依然得以保持。
• 重新表述爱因斯坦方程，使杨-米尔斯场强作为左侧的几何源项。
• 在后黎曼几何中识别出杨-米尔斯场与引力之间新的、弱耦合的引力相互作用。
• 表明科尔曼-曼杜拉定理不适用于此统一，因其内部对称性的非标准几何嵌入。

提出的方法

• 采用构造性方法研究后黎曼几何，将黎曼联络变形为具有扭量与非度量性的威尔-嘉当结构。
• 引入一个单一的统一联络1-形式，编码时空与内部规范场，具有非标准代数结构。
• 运用绝对微分法推导涉及扭量、曲率与非度量性的几何恒等式，现包含内部自由度。
• 应用适配于威尔-嘉当几何的最小爱因斯坦-希尔伯特作用量，推导出包含杨-米尔斯流作为源项的修正爱因斯坦方程。
• 使用规范固定方法引入规范场的标度函数，使其对非度量微观结构敏感，并隔离出弱引力相互作用。
• 推导出扭量形式 $\vartheta_\alpha \wedge T^\alpha$ 的非阿贝尔斯托克斯定理推广，表明其在内部规范变换下为协变变换。

实验结果

研究问题

• RQ1 内部杨-米尔斯对称性是否能在黎曼框架之外的时空几何中实现几何嵌入，且不破坏规范不变性？
• RQ2 当内部自由度被纳入扭量与非度量性时，标准时空结构恒等式（如类似比安奇的关系）将如何变化？
• RQ3 在威尔-嘉当时空中，将杨-米尔斯场与引力合并后，其动力学后果为何，特别是有效引力耦合强度如何？
• RQ4 该理论是否能规避科尔曼-曼杜拉定理的限制，该定理禁止在标准相对论场论中实现此类统一？
• RQ5 从合并的时空-内部对称性结构中，会涌现出哪些拓扑不变量，如陈类？

主要发现

• 该理论构建了一个统一的时空几何，其中内部杨-米尔斯自由度被编码于威尔-嘉当流形的非度量性与扭量之中。
• 包括涉及扭量与曲率的类似比安奇关系在内的时空结构恒等式，在内部规范变换下保持不变。
• 在威尔-嘉当时空中，爱因斯坦方程被恢复，右侧的源项为杨-米尔斯场强，现为几何诱导。
• 涌现出杨-米尔斯场与引力之间的新相互作用项，其耦合强度弱于引力本身，暗示其为次级修正。
• 转置扭量形式 $\vartheta_\alpha \wedge T^\alpha$ 在内部规范变换下协变变换，从而实现斯托克斯定理的非阿贝尔推广。
• 解析计算了合并的 $GL(n,\mathbb{R}) \times U(N,\mathbb{C})$ 纤维丛的一阶陈类，确认了该构造的拓扑一致性。