[论文解读] Potential automorphy and change of weight

Thomas Barnet-Lamb, Toby Gee+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文通过引入在 $l$ 处的“潜在可对角化性”条件，建立了一个新的 $l$-adic 表示的自守提升定理，实现了自守形式中“权的改变”。关键结果表明，定义在全实域上的不可约、完全奇、本质自对称、正则的弱相容系统是潜在自守的，从而确保其 $L$-函数具有亚纯延拓及函数方程。

ABSTRACT

We prove a new automorphy lifting theorem for l-adic representations where we impose a new condition at l, which we call `potential diagonalizability'. This result allows for `change of weight' and seems to be substantially more flexible than previous theorems along the same lines. We derive several applications. For instance we show that any irreducible, odd, essentially self-dual, regular, weakly compatible system of l-adic representations of the absolute Galois group of a totally real field is potentially automorphic, and hence is pure and its L-function has meromorphic continuation to the whole complex plane and satisfies the expected functional equation.

研究动机与目标

• 开发一个通用的自守提升定理，允许 $l$-adic Galois 表示中的权发生改变。
• 通过引入 $l$ 处的“潜在可对角化性”这一新局部条件，克服先前定理的局限性，从而在 Hodge–Tate 权上获得灵活性。
• 证明在全实域上，正则、本质自对称、完全奇的相容 $l$-adic 表示系统是潜在自守的。
• 将潜在自守性结果的适用范围从特殊情形（如对称幂）扩展到维度大于 2 的一般相容系统。
• 通过自守性建立此类系统 $L$-函数的亚纯延拓与函数方程。

提出的方法

• 在自守提升定理中引入 $l$ 处的“潜在可对角化性”作为新的局部条件。
• 利用 Moret-Bailly 引理，在 $F$ 的一个有限伽罗瓦全实扩张 $F'$ 上构造一个概形 $X$，使其上同调实现模 $l$ 约化 $\overline{r}_\lambda$。
• 确保 $X$ 的模 $l'$ 上同调由一个特征诱导，从而在 $F'$ 上实现自守诱导。
• 分两步应用自守提升定理：首先将模 $l'$ 上同调提升为 $l'$-adic 自守性，然后通过一个允许权改变的第二提升定理，将 $l$-adic 表示 $r_\lambda$ 提升。
• 利用类域论和局部特征提升（通过引理 A.2.4）构造满足预设局部条件的相容 Hecke 特征。
• 利用 Hodge–Tate 数为连续整数（例如 $0,1,\dots,n-1$）的事实，确保 Griffiths 横截性不会阻碍具有不同 Hodge 型的概形的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 自守提升定理能否被推广，以允许在 $l$-adic 表示中发生权的改变，而不仅限于平凡或正则权的情形？
• RQ2 能否在高度分歧扩张上构造具有不同 Hodge 数和大单值群的概形，以实现模 $l$ Galois 表示？
• RQ3 在自守定理中，'$l$ 处的潜在可对角化性' 条件能否替代更强的局部条件（如平凡或 Steinberg 条件）？
• RQ4 在不依赖于对称幂等特殊例子的情况下，一般相容 $l$-adic 表示系统（维度大于 2）在多大程度上可被证明为潜在自守？
• RQ5 若存在一个具有正则、自对称和完全奇性质的弱相容 $l$-adic 表示系统，是否能推出其在有限扩张上为自守？

主要发现

• 本文建立了一个新的自守提升定理，通过引入 $l$ 处的‘潜在可对角化性’条件，实现了‘权的改变’。
• 任何在全实域上定义的不可约、完全奇、本质自对称、正则、弱相容的 $l$-adic 表示系统，在经过一个有限伽罗瓦扩张后，成为潜在自守的。
• 此类系统的 $L$-函数在复平面上具有亚纯延拓，并满足预期的函数方程。
• 该方法使得维度大于 2 的一般相容系统也能获得自守性结果，而不仅限于对称幂等特殊情形。
• 该构造依赖于具有连续 Hodge 数和大单值群的概形，其可行性由 Moret-Bailly 的一个引理和类域论所保证。
• 该结果适用于来自不同权的模形式的 $l$-adic 表示的张量积，表明其 $L$-函数具有亚纯延拓。