[论文解读] Power maps in algebra and topology

Kathryn Hess|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文引入了扭曲上链的Hochschild复形作为统一的代数框架，该框架同时推广了Hochschild复形与coHochschild复形。它为链H opf代数构造了自然的幂映射，表明当代数为余交换或源于双重悬垂空间时，这些映射刻画了自由圈空间上的拓扑幂映射，为拓扑循环同调的链模型提供了关键的代数工具。

ABSTRACT

Given any twisting cochain t:C -->A, where C is a connected, coaugmented chain coalgebra and A is an augmented chain algebra over an arbitrary PID R, we construct a twisted extension of chain complexes A --> H(t) --> C. We show that both the well-known Hochschild complex of an associative algebra and the coHochschild complex of a coassociative coalgebra are special cases of H(t), which we therefore call the Hochschild complex of t. We explore the extent of the naturality of the Hochschild complex construction and apply the results of this exploration to determining conditions under which H(t) admits multiplicative or comultiplicative structure. In particular, we show that the Hochschild complex on a chain Hopf algebra always admits a natural comultiplication. Furthermore, when A is a chain Hopf algebra, we determine conditions under which H(t) admits an rth-power map extending the usual rth-power map on A and lifting the identity on C. As special cases, we obtain that both the Hochschild complex of any cocommutative Hopf algebra and the coHochschild complex of the normalized chain complex of a double suspension admit power maps. We show moreover that if K is a double suspension, then the power map on the coHochschild complex of the normalized chain complex of K is a model of the topological power map on the space of free loops on the realization of K, illustrating the topological relevance of our algebraic construction.

研究动机与目标

• 通过扭曲上链将Hochschild复形与coHochschild复形统一于单一构造之下。
• 在Hochschild复形上定义并研究扩展自经典圈空间上r次幂映射的幂映射。
• 确立链H opf代数的Hochschild复形自然具备乘法或余乘法结构的条件。
• 证明当X为双重悬垂空间时，其标准化链复形的coHochschild复形可刻画自由圈空间L(X)上的拓扑幂映射。

提出的方法

• 将Hochschild复形H(t)构造为从扭曲上链t:C→A诱导的链复形的扭曲扩张，其中C为余加权余代数，A为PID R上的加权代数。
• 证明H(t)同时推广了代数的Hochschild复形与余代数的coHochschild复形。
• 证明当A为链H opf代数时，H(t)自然地具备余乘法结构。
• 建立H(t)携带扩展自A上标准幂映射并提升C上恒等映射的r次幂映射的充分条件。
• 为单连通双重悬垂空间X定义一个小的链复形fls*(X)，并配备一个端同态λ̃_r，以模拟L(X)上的拓扑幂映射。
• 利用单纯与同伦构造，将fls*(X)上的代数幂映射与自由圈空间上的拓扑幂映射联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 扭曲上链的Hochschild复形在何种条件下具备余乘法结构？
• RQ2 Hochschild复形在何种条件下支持扩展自基代数上经典幂映射并提升余代数上恒等映射的r次幂映射？
• RQ3 如何通过Hochschild复形的代数构造来模拟双重悬垂空间自由圈空间上的拓扑幂映射？
• RQ4 双重悬垂空间的标准化链复形的coHochschild复形与其自由圈空间上的拓扑幂映射之间有何关系？
• RQ5 fls*(X)上的代数幂映射在何种意义上是L(X)上拓扑幂映射的链模型？

主要发现

• 当A为链H opf代数时，任意扭曲上链t:C→A的Hochschild复形H(t)自然具备余乘法结构。
• 当A为余交换链H opf代数时，Hochschild复形H(t)具备r次幂映射，该映射扩展了A上的标准r次幂映射，并提升C上的恒等映射。
• 当X为单连通双重悬垂空间时，X的标准化链复形的coHochschild复形可刻画自由圈空间L(X)上的拓扑幂映射。
• 小链复形fls*(X)上的端同态λ̃_r在同调上诱导与L(X)上拓扑r次幂映射相同的映射，即H*(λ̃_r) ≅ H*(λ_top^r)。
• 该构造提供了拓扑幂映射的链级模型，这对构建拓扑循环同调的链模型至关重要。
• fls*(X)上的幂映射与自由圈空间的纤维丛序列结构相容，保持了拓扑构造的同伦上下文。