[论文解读] Prabhakar-type linear differential equations with variable coefficients

Arran Fernandez, Joel E. Restrepo+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2022

Mathematical functions and polynomials被引用 5

一句话总结

本文通过使用具有Mittag-Leffler核的Prabhakar型分数阶算子，为变系数线性微分方程提供了显式解析解。通过采用不动点迭代框架和嵌套的Prabhakar分数阶积分复合，作者将唯一解构造为收敛的无穷级数，并将结果推广至关于函数的算子，且在常系数情况下通过多变量Mittag-Leffler函数给出了闭式解。

ABSTRACT

Linear differential equations with variable coefficients and Prabhakar-type operators featuring Mittag-Leffler kernels are solved. In each case, the unique solution is constructed explicitly as a convergent infinite series involving compositions of Prabhakar fractional integrals. We also extend these results to Prabhakar operators with respect to functions. As an important illustrative example, we consider the case of constant coefficients, and give the solutions in a more closed form by using multivariate Mittag-Leffler functions.

研究动机与目标

• 建立变系数Prabhakar型微分方程解的存在性与唯一性。
• 开发一种基于嵌套Prabhakar分数阶积分的构造性方法，以生成显式解。
• 将解框架推广至关于函数的Prabhakar算子。
• 在常系数情况下，利用多变量Mittag-Leffler函数提供闭式解。

提出的方法

• 通过将原微分方程转化为等价的Volterra积分方程，并应用不动点迭代方法构造解。
• 该方法依赖于包含Prabhakar分数阶积分复合的统一收敛无穷级数。
• 通过求解具有单项式初值条件的齐次问题，推导出解的典范集合。
• 解表示为特解与齐次解之和，其中特解通过多变量Mittag-Leffler函数表示。
• 通过推广积分核结构，将框架扩展至关于函数的Prabhakar算子。
• 最终解表示为对n的单重和形式的多变量Mittag-Leffler函数，简化了先前工作中的多重和形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为变系数Prabhakar型微分方程构造显式解？
• RQ2 此类方程的典范解集结构是什么？
• RQ3 如何将解法推广至关于函数的Prabhakar算子？
• RQ4 当系数为常数时，能否以更紧凑的形式表达解？
• RQ5 所提出的解与先前基于多重和形式的单变量Mittag-Leffler函数表示相比有何差异？

主要发现

• 变系数Prabhakar型FDE的唯一解被构造为包含嵌套Prabhakar分数阶积分复合的收敛无穷级数。
• 在常系数情况下，解通过多变量Mittag-Leffler函数以闭式表达，简化了先前的多重和表示形式。
• 解法已推广至关于函数的Prabhakar算子，扩大了其在广义分数阶微积分中的适用范围。
• 通过单重和形式的多变量Mittag-Leffler函数表示，为先前工作中出现的多重和形式提供了数值上更优的替代方案。
• 解的结构与Mikusiński运算演算中的已知结果一致，通过形式等价性验证了该方法的正确性。