[论文解读] Practicable Simulation-Free Model Order Reduction by Nonlinear Moment Matching

María Cruz de Carlos Varona, Raphael Gebhart+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 29被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种无需仿真、数值高效的非线性系统模型降阶方法，采用非线性矩匹配技术。通过用非线性代数方程（NLSEs）的解替代非线性偏微分方程的求解，该方法在训练过程中无需全阶仿真即可实现可行且高保真的降阶模型。

ABSTRACT

In this paper, a practicable simulation-free model order reduction method by nonlinear moment matching is developed. Based on the steady-state interpretation of linear moment matching, we comprehensively explain the extension of this reduction concept to nonlinear systems presented in [1], provide some new insights and propose some simplifications to achieve a feasible and numerically efficient nonlinear model reduction algorithm. This algorithm relies on the solution of nonlinear systems of equations rather than on the expensive simulation of the original model or the difficult solution of a nonlinear partial differential equation.

研究动机与目标

• 开发一种实用的、无需仿真的非线性系统模型降阶技术。
• 克服现有非线性矩匹配方法中求解非线性Sylvester型PDE所导致的计算瓶颈。
• 通过用非线性方程组的求解替代全阶仿真，实现高效的降阶建模。
• 提供一种数值上可行的算法，实现非线性矩匹配而不依赖基于轨迹的数据。
• 在基准非线性PDE系统（FitzHugh-Nagumo）上验证该方法的有效性。

提出的方法

• 提出一种基于非线性系统对指数输入的稳态响应的非线性矩匹配框架。
• 用从信号发生器导出的一组非线性代数方程（NLSEs）的解替代非线性偏微分方程的求解。
• 通过将线性投影映射到NLSEs解所张成的子空间，构建降阶模型。
• 使用用户定义的信号发生器生成捕捉系统非线性行为的输入轨迹。
• 对NLSEs解构成的较小矩阵应用奇异值分解（SVD），以提取降阶基。
• 通过直接使用隐式形式而非对描述矩阵求逆，将该方法扩展至隐式描述系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性矩匹配能否在不依赖全阶仿真或求解PDE的情况下实现计算上的可行性？
• RQ2 线性系统中的稳态响应概念如何推广到非线性系统以用于模型降阶？
• RQ3 信号发生器的选择在降阶模型的精度与效率中起到何种作用？
• RQ4 无仿真方法能否实现与POD等基于仿真的方法相当甚至更优的精度？
• RQ5 与数据驱动的矩估计技术相比，该方法在计算成本和保真度方面表现如何？

主要发现

• 对于2000自由度的FHN模型，该方法将训练时间缩短至46.17秒，而POD方法需382.25秒。
• 当降阶阶数为22时，NLMM的相对L1误差范数为3.36×10⁻³，而POD为1.03×10⁻⁵，表明速度与精度之间存在权衡。
• 当降阶阶数提高至34时，NLMM的相对L1误差降至1.83×10⁻³，表明增加基向量可提升精度。
• 该方法在训练过程中避免了全阶仿真，仅需求解41个非线性方程组。
• 信号发生器显著影响降阶模型的质量，其中不稳定的指数输入能有效捕捉系统动力学。
• 该方法可通过直接使用隐式形式应用于隐式描述系统，避免了矩阵求逆带来的数值问题。