[论文解读] Practical Quantum Computing: solving the wave equation using a quantum approach

Adrien Suau, Gabriel Staffelbach+1 more|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Mar 27, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本论文首次在实验上实现了基于 Costa 等人（2019）提出的波方程求解器的直接量子算法，用于求解一维波方程。该实现表明，理论上的渐近门数和执行时间复杂度 $\mathcal{O}(N_d^{3/2} \log(N_d)^2)$ 得到了保持，尽管较大的常数因子使得即使在理想化硬件上，对于当前的离散化规模，其效率仍低于经典求解器。

ABSTRACT

In the last years, several quantum algorithms that try to address the problem of partial differential equation solving have been devised. On one side, "direct" quantum algorithms that aim at encoding the solution of the PDE by executing one large quantum circuit. On the other side, variational algorithms that approximate the solution of the PDE by executing several small quantum circuits and making profit of classical optimisers. In this work we propose an experimental study of the costs (in terms of gate number and execution time on a idealised hardware created from realistic gate data) associated with one of the "direct" quantum algorithm: the wave equation solver devised in [PCS. Costa, S. Jordan, A. Ostrander, Phys. Rev. A 99, 012323, 2019]. We show that our implementation of the quantum wave equation solver agrees with the theoretical big-O complexity of the algorithm. We also explain in great details the implementation steps and discuss some possibilities of improvements. Finally, our implementation proves experimentally that some PDE can be solved on a quantum computer, even if the direct quantum algorithm chosen will require error-corrected quantum chips, which are not believed to be available in the short-term.

研究动机与目标

• 在量子计算机上实现并分析一种用于求解一维波方程的直接量子算法。
• 评估该波方程求解器在理想化硬件上的实际资源消耗——包括门数、量子比特数和执行时间。
• 开发并基准测试对求解器性能至关重要的自定义哈密顿量模拟过程。
• 在现实硬件约束下，将量子求解器的性能与经典有限差分求解器进行比较。
• 评估在近期范围内，通过直接量子算法求解偏微分方程的可行性，尽管存在较高的常数因子。

提出的方法

• 在具有 $N_d$ 个点的一维空间网格上对波方程进行离散化，使用振幅编码将解编码为量子态。
• 该算法基于 Costa 等人（2019）提出的波方程求解器，采用哈密顿量模拟方法实现时间演化。
• 采用阶数为 $2k$ 的 Trotter-Suzuki 分解实现自定义哈密顿量模拟过程，通过解析和最小化误差界确定电路重复次数 $r$，以确保精度 $\epsilon$。
• 使用基于 Qiskit 的 qat 库生成量子线路，非 Clifford 门（特别是 $T$ 和 Toffoli 门）通过已知的合成方法近似。
• 针对不同的加法器实现方式（算术型与基于 QFT 的方式）计算 $T$-count，并利用 IBM Q 硬件数据估算总门数和执行时间。
• 通过测量门数和执行时间随 $N_d$ 与 $\epsilon$ 的缩放关系，验证理论渐近复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 该量子波方程求解器的实际实现是否再现了理论上的渐近缩放关系 $\mathcal{O}(N_d^{3/2} \log(N_d)^2)$，即门数和执行时间与 $N_d$ 的关系？
• RQ2 大 O 符号中隐藏的常数因子如何影响量子求解器相对于经典有限差分求解器的性能？
• RQ3 不同的哈密顿量模拟误差界（解析界、最小化界、换位子界）对所需电路重复次数 $r$ 有何影响？
• RQ4 不同的量子加法器实现方式如何影响 $T$-count 和求解器的整体资源成本？
• RQ5 能否在当前理想化的硬件上实现并执行一个用于求解偏微分方程的直接量子算法？其性能是否可与经典方法相媲美？

主要发现

• 该实现证实了总门数随离散化点数 $N_d$ 的理论渐近缩放关系为 $\mathcal{O}(N_d^{3/2} \log(N_d)^2)$。
• 在理想化 IBM Q 硬件上的执行时间与理论门数缩放关系保持一致，验证了硬件模型的合理性。
• $T$-count 主要由 $R_n$ 和 $P_h$ 门主导，每个门在 $\epsilon = 10^{-15}$ 精度下约需 379 个 $T$ 门，且算术加法器比基于 QFT 的加法器更高效。
• 为达到目标误差 $\epsilon$ 所需的电路重复次数 $r$ 随 $\epsilon^{-1/2k}$ 增长，且最小化误差界所得的重复次数显著少于解析界。
• 尽管渐近缩放表现良好，但 $T$-count 和门数中的巨大常数因子使得对于合理的 $N_d$ 值，量子求解器的效率仍低于经典有限差分求解器。
• 本研究首次对量子计算机上的完整 PDE 求解器进行了实验分析，包括自定义哈密顿量模拟实现和详细的资源估算。