[论文解读] Pre-Calabi-Yau structures and moduli of representations

Wai‐Kit Yeung|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 39被引用 11

一句话总结

本文为微分形式与多向量场建立了形式化的非交换微分 calculus，引入了一种基于迹的构造，将非正度数的微分-graded 代数上的 $n$-Calabi-Yau 与 $n$-pre-Calabi-Yau 结构，与它们的表示的导出模堆栈上的 $(2-n)$-位移辛与泊松结构联系起来。其主要贡献在于系统性地建立了非交换几何中的代数结构与模堆栈上位移辛/泊松几何之间的对应关系。

ABSTRACT

We establish a system of formal noncommutative calculus for differential forms and polyvector fields, which forms the foundations for the study of pre-Calabi-Yau categories. Using an explicit trace map, we show that any $n$-Calabi-Yau structure on a non-positively graded dg algebra $A$ induces a $(2-n)$-shifted symplectic structure on its derived moduli stack of representations; while any $n$-pre-Calabi-Yau structure on $A$ induces a $(2-n)$-shifted Poisson structure on this derived moduli stack.

研究动机与目标

• 为微分形式与多向量场在非交换几何中建立一个形式化的非交换微分 calculus 系统，作为 pre-Calabi-Yau 范畴的基础。
• 为微分-graded 代数 $A$ 的有限维表示的导出模堆栈构造一个显式的全局商模型。
• 证明 $A$ 上的 $n$-Calabi-Yau 结构在 $\mathpzc{DRep}(A)$ 上诱导出一个 $(2-n)$-位移辛结构，而 $n$-pre-Calabi-Yau 结构则诱导出一个 $(2-n)$-位移泊松结构。

提出的方法

• 引入扩展的非交换 de Rham 复形作为非交换几何中微分形式的混合复形。
• 定义扩展的项链 dg 李代数作为多向量场的非交换类比，配备一个按权重分次的李括号。
• 通过从一个纤维化余逼近 $Q\xrightarrow{\sim}A$ 构造一个带下标的代数 $A_r$，将导出模堆栈 $\mathpzc{DRep}(A)$ 构造为全局商 $[\mathrm{Spec}(Q_r)/\mathrm{GL}(r)]$。
• 使用显式的迹映射，将 Hochschild 上同调类与模堆栈上的位移辛与泊松结构联系起来。
• 在项链李代数上的不变上链复形与全局商上的位移多向量场之间建立一个拟同构。
• 通过涉及对称群轨道与 Koszul 符号的显式计算，验证括号结构的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非交换代数几何中系统地形式化微分形式与多向量场？
• RQ2 一个 dg 代数上的 $n$-Calabi-Yau 结构在表示的导出模堆栈上诱导出何种精确的几何结构？
• RQ3 非交换项链 dg 李代数如何与模空间上的位移泊松结构相关联？
• RQ4 导出表示模堆栈能否通过一个纤维化余逼近显式实现为一个全局商？
• RQ5 迹映射在连接非交换代数结构与位移辛与泊松几何中扮演何种角色？

主要发现

• 一个非正度数的 dg 代数 $A$ 上的 $n$-Calabi-Yau 结构，通过显式的迹映射，在导出模堆栈 $\mathpzc{DRep}(A)$ 上诱导出一个 $(2-n)$-位移辛结构。
• $A$ 上的 $n$-pre-Calabi-Yau 结构在 $\mathpzc{DRep}(A)$ 上诱导出一个 $(2-n)$-位移泊松结构，从而建立了经典辛-泊松对应关系的非交换类比。
• 导出模堆栈 $\mathpzc{DRep}(A)$ 同构于全局商 $[\mathrm{Spec}(Q_r)/\mathrm{GL}(r)]$ 的上极限，其中 $Q_r$ 是纤维化余逼近 $Q\xrightarrow{\sim}A$ 的 $r$-标记版本，从而恢复了具有 $[0,0]$-塔-幅度的伪完美模的导出模堆栈。
• 扩展的项链 dg 李代数 $\bigoplus_{r\geq1}\mathscr{P}^{(r)}(\mathcal{A},m)[m+1]$ 提供了一个位移多向量场的非交换模型，其括号的权重为 $-1$。
• 迹映射在项链李代数上的不变上链复形与全局商上的位移多向量场之间诱导出一个拟同构，确保其与位移泊松结构的相容性。
• 显式计算确认，项链代数上的李括号通过关于对称群轨道与 Koszul 符号的求和，对应于模堆栈上的 Schouten-Nijenhuis 括号。