[论文解读] Pre-Lie algebras in positive characteristic

Ioannis Dokas|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文在正特征下引入了受限预李代数，推广了受限李代数的雅可布森定理。证明了在素特征域上的任一戴尔斯特拉代数自然地携带一个受限预李代数结构，该结构可进一步推广至罗塔-巴特勒代数与拟三角代数，并构建了受限包络戴尔斯特拉代数的左伴随函子，从而为这些代数建立了范畴论框架。

ABSTRACT

In prime characteristic we introduce the notion of restricted pre-Lie algebras. We prove in the pre-Lie context the analogue to Jacobson's theorem for restricted Lie algebras. In particular, we prove that any dendriform algebra over a field of positive characteristic is a restricted pre-Lie algebra. Thus we obtain that Rota-Baxter algebras and quasitriangular algebras are restricted pre-Lie algebras. Moreover, we prove that the free $Γ(\calligra{preLie})$-algebra is a restricted pre-Lie algebra, where $\calligra{preLie}$ denotes the pre-Lie operad. Finally, we define the notion of restricted enveloping dendriform algebra and we construct a left adjoint functor for the functor $(-)_{p-preLie}: Dend ightarrow p-preLie$.

研究动机与目标

• 将受限李代数理论推广至正特征下的预李代数情境。
• 将受限预李代数定义为雅可布森受限李代数的推广。
• 建立戴尔斯特拉代数、罗塔-巴特勒代数与拟三角代数在正特征下自然地为受限预李代数的结论。
• 为从戴尔斯特拉代数到受限预李代数的函子构建一个左伴随函子。
• 定义并刻画受限包络戴尔斯特拉代数作为普遍构造。

提出的方法

• 引入受限预李代数的概念，即配备满足特定公理（与受限李代数中类似）的 $p$-映射的预李代数。
• 证明受限预李代数的导出李代数是受限李代数，从而建立两者之间的联系。
• 证明在特征 $p \neq 0$ 的域上，任一戴尔斯特拉代数通过戴尔斯特拉运算诱导的预李括号，自然地携带一个规范的受限预李代数结构。
• 构造自由 $\Gamma(\mathcal{preLie})$-代数，并证明其为受限预李代数。
• 将受限包络戴尔斯特拉代数 $U_p(P)$ 定义为在 $P$ 上的自由戴尔斯特拉代数的商代数，其中关系编码了预李括号与 $p$-映射。
• 建立从受限预李代数到戴尔斯特拉代数的函子 $U_p$ 的左伴随，推广了普遍包络代数的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 受限李代数的概念能否在正特征下自然地推广至预李代数情境？
• RQ2 在素特征域上的任一戴尔斯特拉代数是否都具有规范的受限预李代数结构？
• RQ3 在正特征下，罗塔-巴特勒代数与拟三角代数是否自然地为受限预李代数？
• RQ4 自由 $\Gamma(\mathcal{preLie})$-代数是否为受限预李代数？
• RQ5 是否存在一个普遍的受限包络戴尔斯特拉代数？它是否为从戴尔斯特拉代数到受限预李代数的遗忘函子的左伴随？

主要发现

• 在特征 $p \neq 0$ 的域上的任一戴尔斯特拉代数均为受限预李代数，将雅可布森定理推广至预李代数情境。
• 自由 $\Gamma(\mathcal{preLie})$-代数为受限预李代数，将运算符框架扩展至受限结构。
• 在正特征域上的罗塔-巴特勒代数为受限预李代数，拟三角 $\epsilon$-双代数亦然。
• 单李代数 $\mathfrak{sl}(2,k)$ 在且仅在 $\operatorname{char}(k) = 3$ 时具有受限预李代数结构，扩展了关于预李结构的已知结果。
• 函子 $U_p: p\text{-preLie} \to \text{Dend}$，将每个受限预李代数映射为其普遍受限包络戴尔斯特拉代数，是遗忘函子 $(-)_{p\text{-preLie}}$ 的左伴随。
• 受限包络戴尔斯特拉代数 $U_p(P)$ 构造为在 $P$ 上的自由戴尔斯特拉代数对由预李括号与 $p$-映射关系生成的理想之商，从而确保其普遍性。