[论文解读] Pre-Shape Calculus: Foundations and Application to Mesh Quality Optimization

Daniel Luft, Volker Schulz|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文提出预形状微分学（Pre-Shape Calculus），这是一种统一的理论框架，通过在法向和切向方向上作用的预形状导数，将经典形状优化扩展至网格质量优化。该方法通过切向梯度下降实现形状与网格质量的同步优化，在保持最优形状的同时，以极低的计算开销显著提升表面和体积网格质量。

ABSTRACT

Deformations of the computational mesh arising from optimization routines usually lead to decrease of mesh quality or even destruction of the mesh. We propose a theoretical framework using pre-shapes to generalize classical shape optimization and calculus. We define pre-shape derivatives and derive according structure and calculus theorems. In particular, tangential directions are featured in pre-shape derivatives, in contrast to classical shape derivatives featuring only normal directions. Techniques from classical shape optimization and -calculus are shown to carry over to this framework. An optimization problem class for mesh quality is introduced, which is solvable by use of pre-shape derivatives. This class allows for simultaneous optimization of classical shape objectives and mesh quality without deteriorating the classical shape optimization solution. The new techniques are implemented and numerically tested for 2D and 3D.

研究动机与目标

• 解决在PDE约束问题中，形状优化过程中网格质量退化的问题，该问题可能影响数值解的可靠性。
• 构建一个统一的理论框架，将经典形状优化与网格质量改进相结合，将参数化（即网格）视为预形状。
• 提出一类预形状参数化追踪问题，通过正则化形状优化过程，同时保持最优形状。
• 通过预形状梯度下降方法实现网格质量优化的数值实现，且不干扰原始形状优化过程。
• 在2D与3D中验证该框架在表面与体积网格质量提升方面的可行性与有效性。

提出的方法

• 将预形状定义为参考流形的微分同胚，从而实现对形状与网格参数化的统一处理。
• 引入包含法向与切向分量的预形状导数，推广经典形状导数。
• 推导预形状导数的结构定理与微分法则，包括物质导数公式与归一化条件。
• 构建一个预形状参数化追踪问题，其目标函数用于控制表面与体积上期望的单元体积分布。
• 采用仅基于预形状导数切向分量的梯度下降方法，避免形状发生形变。
• 利用Gram-Schmidt正交化方法计算局部切向标准正交基，并计算雅可比行列式以实现网格质量追踪。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在统一的微分学框架内，正式解决形状优化过程中网格质量退化的问题？
• RQ2 包含法向与切向变化的预形状导数的数学结构是什么？
• RQ3 能否利用预形状导数在不改变原始形状优化问题最优形状的前提下，实现网格质量优化？
• RQ4 如何实现预形状微分学的数值计算，以实现网格质量优化且计算成本最低？
• RQ5 仅依靠预形状导数的切向分量，能在多大程度上驱动收敛至期望的网格质量，同时保持形状不变？

主要发现

• 预形状微分学框架通过引入切向变化，成功将经典形状微分学推广，实现了在不引起形状形变的前提下进行网格质量优化。
• 数值实验表明，仅使用预形状导数的切向分量，即可实现目标函数与梯度范数的收敛，同时保持原始球形形状不变。
• 在3D球体测试案例中，算法在48次迭代后收敛，耗时1256.78秒，成功实现期望的非均匀表面单元体积分布。
• 通过保持球形几何形状不变，验证了最优形状在优化过程中保持不变。
• 实现表明额外计算开销极小，预形状梯度下降方法在不干扰形状优化过程的前提下，成功实现了网格质量提升。
• 该框架支持任意维度，适用于表面与体积网格，且在2D与3D中均通过了成功的数值验证。