[论文解读] Precise interpretation of the conformable fractional derivative

Ahmed A. Abdelhakim|arXiv (Cornell University)|May 7, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文证明了Khalil等人定义的共形分数阶导数 $ T_{\beta}f(x) $ 在数学上等价于经典可微性：当 $ x > 0 $ 时，有 $ T_{\beta}f(x) = x^{1-\beta}f'(x) $。主要贡献在于证明了共形意义下的 $ \alpha $-可微性等价于标准可微性，从而通过引入一个缩放因子，将分数阶微积分中的证明与计算简化为经典导数的形式。

ABSTRACT

Let $α\in\,]0,1[$. We prove that the existence of the conformable fractional derivative $T_αf$ of a function $f:[0,\infty[\,\longrightarrow \mathbb{R}$ introduced by Khalil et al. in [R. Khalil, M. Al Horani, A. Yousef, M. Sababheh, A new definition of fractional derivative, J. Comput. Appl. Math. 264 (2014) 65-70] is equivalent to classical differentiability. Precisely the fractional $α$-derivative of $f$ is the pointwise product $T_αf(x)=x^{1-α}f^{\prime}(x)$, $x>0$. This simplifies the recent results concerning conformable fractional calculus.

研究动机与目标

• 解决Khalil等人提出的共形分数阶导数解释中的模糊性问题
• 澄清 $ \alpha $-可微性是否意味着经典可微性，或是否为一个严格的新概念
• 以经典导数的形式，对共形导数给出精确且明确的刻画
• 通过表明其可简化为带缩放因子的标准微积分，从而简化共形分数阶微积分中的现有结果

提出的方法

• 通过在极限定义中进行变量替换，证明 $ T_{\alpha}f(x) $ 的存在性蕴含 $ x > 0 $ 处 $ f $ 的可微性
• 从极限定义推导出显式关系式 $ T_{\alpha}f(x) = x^{1-\alpha}f'(x) $，表明其与经典导数等价
• 分析 $ x = 0 $ 处的行为，证明 $ T_{\alpha}f(0) = \lim_{x \to 0^+} x^{1-\alpha}f'(x) $，当 $ f' $ 在 0 附近有界时该极限为零
• 将共形导数 $ T_{\alpha} $ 与另一种定义 $ U_{\alpha} $ 进行比较，证明两者均等价于经典可微性
• 利用 $ \log(1 + \epsilon/x)^{1/\epsilon} \to 1/x $ 的渐近分析，将 $ U_{\alpha} $ 的定义与经典导数联系起来
• 建立一个一般性原理：若 $ \lim_{\epsilon \to 0} h(\epsilon, x_0) \neq 0 $，则 $ \phi $ 在 $ x_0 $ 处可微当且仅当广义极限 $ \tilde{\phi}(x_0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\phi(x_0 + \epsilon h(\epsilon,x_0)) - \phi(x_0)}{\epsilon} $ 存在且等于 $ \psi(x_0)\phi'(x_0) $

实验结果

研究问题

• RQ1 共形分数阶导数 $ T_{\alpha}f(x) $ 真的是一个新概念，还是等价于经典可微性？
• RQ2 $ T_{\alpha}f(x) $ 的存在性是否意味着经典导数 $ f'(x) $ 的存在性？
• RQ3 共形导数能否显式地用经典导数表示？
• RQ4 $ T_{\alpha}f(0) $ 的正确解释是什么？它与 $ f' $ 在 0 附近的行为有何关系？
• RQ5 共形导数的其他定义（如 $ U_{\alpha}f(x) $）是否也等价于经典可微性？

主要发现

• 当 $ x > 0 $ 时，共形分数阶导数 $ T_{\alpha}f(x) $ 存在当且仅当 $ f $ 在 $ x $ 处可微，此时有 $ T_{\alpha}f(x) = x^{1-\alpha}f'(x) $
• 文献[10]中声称 $ \alpha $-可微函数不一定是经典可微的这一说法是错误的；像 $ g(x) = \sqrt{x} $ 这类反例在 $ x > 0 $ 处并不破坏等价性
• 在 $ x = 0 $ 处，$ T_{\alpha}f(0) $ 存在当且仅当 $ \lim_{x \to 0^+} x^{1-\alpha}f'(x) $ 存在，且当 $ f' $ 在 0 附近有界时该极限为零
• 函数 $ \tilde{g}(x) = x^2\chi_{\mathbb{Q}}(x) $ 仅在 0 处可微，因此 $ T_{\alpha}\tilde{g}(0) $ 不存在，这证实了在 0 处可微性与 $ \alpha $-可微性之间相互独立
• 另一种共形导数 $ U_{\alpha}f(x) $ 同样等价于经典可微性，且满足 $ U_{\alpha}f(x) = x^{1-\alpha}f'(x) $
• 建立了一般性原理：函数在 $ x_0 $ 处可微当且仅当涉及函数 $ h(\epsilon, x_0) $ 的广义极限存在，且该极限等于 $ \psi(x_0)f'(x_0) $，其中 $ \psi(x_0) = \lim_{\epsilon \to 0} h(\epsilon, x_0) $