[论文解读] Preparing Arbitrary Continuous Functions in Quantum Registers With Logarithmic Complexity

Arthur G. Rattew, Bálint Koczor|arXiv (Cornell University)|May 1, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 15

一句话总结

该论文提出了一种量子算法，可在所需分辨率的对数复杂度下，将任意连续函数制备到量子寄存器中。通过利用时间演化高效模拟秩-1投影算符，该方法实现了恒定的查询复杂度，并且误差有界，其大小与函数填充比率成反比，从而实现了高效的态制备、数值积分和抽样，适用于量子化学和金融领域的应用。

ABSTRACT

Quantum computers will be able solve important problems with significant polynomial and exponential speedups over their classical counterparts, for instance in option pricing in finance, and in real-space molecular chemistry simulations. However, key applications can only achieve their potential speedup if their inputs are prepared efficiently. We effectively solve the important problem of efficiently preparing quantum states following arbitrary continuous (as well as more general) functions with complexity logarithmic in the desired resolution, and with rigorous error bounds. This is enabled by the development of a fundamental subroutine based off of the simulation of rank-1 projectors. Combined with diverse techniques from quantum information processing, this subroutine enables us to present a broad set of tools for solving practical tasks, such as state preparation, numerical integration of Lipschitz continuous functions, and superior sampling from probability density functions. As a result, our work has significant implications in a wide range of applications, for instance in financial forecasting, and in quantum simulation.

研究动机与目标

• 为解决高效制备对应于任意连续函数的量子态这一关键挑战，这是实现量子加速的关键瓶颈。
• 开发一种在分辨率上具有对数门复杂度的方法，以实现可扩展的量子算法，适用于实际应用。
• 提供与函数填充比率成比例的严格误差界，并在利普希茨连续函数下渐近趋于零。
• 通过高效的态制备和模拟子程序，实现在量子化学、期权定价和数值积分中的实际量子算法。
• 通过引入通用连续振幅函数的秩-1哈密顿量模拟子程序，扩展量子信息技术。

提出的方法

• 核心方法使用离散化函数的秩-1矩阵表示，定义为 $ A_{kl} = f(x_k)f^*(x_l) $，将目标振幅函数编码为量子哈密顿量。
• 该算法利用低秩和1-稀疏模拟技术，高效模拟此秩-1哈密顿量的时间演化，实现恒定查询的实现。
• 通过模拟哈密顿量 $ \mathcal{H} \propto |\psi\rangle\langle\psi| $ 的基态，制备出目标量子态 $ |\psi\rangle $，其对应于函数振幅。
• 该方法使用量子预言机高效计算矩阵元素，并利用黎曼和近似将离散和与连续范数关联。
• 在积分任务中，通过使用分段积分 $ g(x_k) = \sqrt{f(x_k)\Delta_N} $ 构造修改后的秩-1矩阵，实现 $ \ell^1 $-范数编码。
• 误差界通过矩阵范数比导出，对于利普希茨连续函数，渐近收敛为 $ \epsilon \in \mathcal{O}(N^{-1}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否以分辨率的对数复杂度，在量子寄存器中制备任意连续函数？
• RQ2 该算法的误差和成本对函数填充比率和光滑度的依赖关系如何？
• RQ3 如何利用秩-1哈密顿量模拟高效制备一般振幅函数？
• RQ4 该方法能否实现在量子算法中对概率密度函数的高效数值积分和抽样？
• RQ5 在离散量子寄存器中，对连续函数近似的理论误差界是什么？

主要发现

• 该算法在量子比特数量上实现恒定的查询复杂度，与系统大小无关，且误差随 $ N \to \infty $ 渐近趋于零。
• 对于振幅编码，误差界为 $ \mathcal{F}^{-2} + \epsilon $，其中 $ \mathcal{F} $ 为填充比率，且 $ \epsilon \in \mathcal{O}(N^{-1}) $ 对于利普希茨函数成立。
• 对于积分编码，误差比有界于 $ (b-a)\mathcal{F}^{-1} + \epsilon $，具有相同的渐近误差行为。
• 数值模拟证实了理论误差标度，显示对于利普希茨连续函数，收敛性与 $ \mathcal{O}(N^{-1}) $ 一致。
• 该方法实现了对任意连续函数的高效量子态制备，其复杂度在分辨率上为对数级，并在渐近情形下与量子比特数量无关。
• 该方法支持实际应用，如量子蒙特卡洛积分、从概率密度函数中抽样，以及连续系统的量子模拟。