[论文解读] Preprocessing for Treewidth: A Combinatorial Analysis through Kernelization

Hans L. Bodlaender, Bart M. P. Jansen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

Advanced Graph Theory Research参考文献 38被引用 7

一句话总结

本文首次对参数化复杂性中的核化方法在树宽预处理规则方面提供了严格的理论分析。研究证明了当以反馈点集（O(fvs(G)⁴)个顶点）或点覆盖（O(vc(G)³)个顶点）为参数时，树宽存在多项式核；同时表明，除非 NP ⊆ coNP/poly，否则在团模组或基于点覆盖的加权树宽参数化下，不存在多项式核。

ABSTRACT

The notion of treewidth plays an important role in theoretical and practical studies of graph problems. It has been recognized that, especially in practical environments, when computing the treewidth of a graph it is invaluable to first apply an array of preprocessing rules that simplify and shrink it. This work seeks to prove rigorous performance guarantees for such preprocessing rules, both known and new ones, by studying them in the framework of kernelization from parameterized complexity. It is known that the NP-complete problem of determining whether a given graph G has treewidth at most k admits no polynomial-time preprocessing algorithm that reduces any input instance to size polynomial in k, unless NP is in coNP/poly and the polynomial hierarchy collapses to its third level. In this paper we therefore consider structural graph measures larger than treewidth, and determine whether efficient preprocessing can shrink the instance size to a polynomial in such a parameter value. We prove that given an instance (G,k) of treewidth we can efficiently reduce its size to O(fvs(G)^4) vertices, where fvs(G) is the size of a minimum feedback vertex set in G. We can also prove a size reduction to O(vc(G)^3) vertices, where vc(G) is the size of a minimum vertex cover. Phrased in the language of parameterized complexity, we show that Treewidth has a polynomial kernel when parameterized by the size of a given feedback vertex set, and also by the size of a vertex cover. In contrast we show that Treewidth parameterized by the vertex-deletion distance to a single clique, and Weighted Treewidth parameterized by the size of a vertex cover, do not admit polynomial kernelizations unless NP is in coNP/poly.

研究动机与目标

• 为实际树宽计算中使用的预处理启发式方法提供理论保证。
• 分析高效的预处理是否能将树宽实例的规模减小到大于树宽的结构参数的多项式规模。
• 确定在各种参数化下树宽是否存在多项式核，特别是基于简单图类模组的参数化。
• 通过识别多项式核极不可能存在的参数，明确树宽与加权树宽核化能力的界限。

提出的方法

• 应用参数化复杂性中的核化技术，分析树宽的预处理规则。
• 使用反馈点集大小和点覆盖大小等结构参数作为 k 的替代参数。
• 采用在保持树宽的同时简化图的规约规则，包括针对度数为 k+1 的近似单纯顶点的新规则。
• 通过质子图和模块分解的组合分析，证明核大小的上界。
• 应用图类模组（如无边图、团）的概念，将问题重构为参数化核化设置。
• 利用小质子图上的加权独立树宽问题的预言机，推导出固定参数可满足性算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 树宽的预处理规则能否在形式上保证在大于树宽的结构参数下，将实例规模多项式地减小？
• RQ2 当以反馈点集或点覆盖的大小为参数时，树宽是否具有多项式核？
• RQ3 是否存在某些结构参数，使得即使经过高效预处理，树宽也不存在多项式核？
• RQ4 相同的技术是否可应用于加权树宽？该变体的核化能力边界是什么？
• RQ5 图的结构特征（如到 cograph、弦图或区间图的距离）对多项式核化可能性有何影响？

主要发现

• 当以反馈点集大小为参数时，树宽存在大小为 O(fvs(G)⁴) 的多项式核。
• 当以点覆盖大小为参数时，树宽也存在大小为 O(vc(G)³) 的多项式核。
• 除非 NP ⊆ coNP/poly，否则在删除距离单个团的参数化下，树宽不存在多项式核。
• 在相同假设下，基于点覆盖大小参数化的加权树宽也不存在多项式核。
• 研究结果通过表明现有预处理启发式方法与可证明有效的核化规则一致，解释了其经验成功。
• 分析揭示，除非多项式层次崩溃，否则距离 cograph 或弦图等参数也不存在多项式核。