[论文解读] Preprojective representations of valued quivers and reduced words in the Weyl group of a Kac-Moody algebra

Mark Kleiner, Allen Pelley|ArXiv.org|Aug 24, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文建立了赋值quiver的预投影表示与Kac-Moody代数的Weyl群中约化解之间的对应关系，证明了Coxeter元$ c $生成无限Weyl群当且仅当所有幂$ c^m $都是约化解。关键贡献在于通过移除Cartan矩阵的对称性假设，利用与预投影模相关的典范(+)-可接受序列，结合组合与表示论方法，刻画了群元素的约化性。

ABSTRACT

This paper studies connections between the preprojective representations of a valued quiver, the (+)-admissible sequences of vertices, and the Weyl group by associating to each preprojective representation a canonical (+)-admissible sequence. A (+)-admissible sequence is the canonical sequence of some preprojective representation if and only if the product of simple reflections associated to the vertices of the sequence is a reduced word in the Weyl group. As a consequence, for any Coxeter element of the Weyl group associated to an indecomposable symmetrizable generalized Cartan matrix, the group is infinite if and only if the powers of the element are reduced words. The latter strengthens known results of Howlett, Fomin-Zelevinsky, and the authors.

研究动机与目标

• 通过移除Cartan矩阵的对称性假设，推广先前关于无限Weyl群的结果。
• 在赋值quiver的预投影表示与(+)-可接受序列之间建立典范对应关系。
• 通过Coxeter元幂的约化性，刻画其生成无限Weyl群的条件。
• 将预投影模与可接受序列的理论推广至赋值quiver及可对称化广义Cartan矩阵的设定。
• 提供一个统一框架，通过Coxeter-可排序元素将表示论、Weyl群的组合学与簇结构联系起来。

提出的方法

• 为每个预投影表示$ M $关联一个$ \frak{S} $中此类序列的典范(+)-可接受序列$ S_M $。
• 将$ w(S) \in \mathcal{W} $定义为对应于序列中顶点的单个反射的复合，并由此将序列映射到Weyl群的元素。
• 证明$ w(S_M) = w(S_N) $当且仅当$ M \cong N $，从而在不可约预投影模的同构类与Weyl群元素之间建立一一对应。
• 利用条件$ \sigma_{x_i} \cdots \sigma_{x_{s-1}}(e_{x_s}) > 0 $对$ i < s $来刻画$ w(S) $的约化性，将根格中的正性与约化解长度联系起来。
• 应用[11]和[12]中的结果，通过赋值quiver将理论从对称推广到可对称化广义Cartan矩阵。
• 利用如下事实：若基础图不是类型$ A_n, B_n, \dots, G_2 $的Dynkin图，则所有$ w(S) $均为约化解，且对所有$ S \in \frak{S} $，此类模均存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于可对称化广义Cartan矩阵的Weyl群，Coxeter元$ c $在何种条件下使得$ \mathcal{W}(A) $为无限？
• RQ2 赋值quiver的预投影表示与相应Weyl群元素的约化解性质之间存在何种精确联系？
• RQ3 在何种条件下，(+)-可接受序列$ S $可作为某个不可约预投影模$ M $的$ S_M $出现？
• RQ4 约化解$ w(S) $与存在满足$ S \sim S_M $的预投影模$ M $之间有何关系？
• RQ5 能否将通过Coxeter元幂的约化性刻画无限Weyl群的结果，从对称Cartan矩阵推广至更一般情形？

主要发现

• Coxeter元$ c $生成无限Weyl群$ \mathcal{W}(A) $当且仅当对所有$ m \in \mathbb{Z} $，有$ \ell(c^m) = |m|n $，其中$ \ell $表示Weyl群中的字长。
• Weyl群中的字$ w(S) \in \mathcal{W} $为约化解当且仅当存在一个预投影$ k(\Gamma,\Lambda) $-模$ M $，使得$ S \sim S_M $，从而实现了完全刻画。
• 对于任何基础图不是类型$ A_n, B_n, C_n, D_n, E_6, E_7, E_8, F_4, G_2 $的赋值quiver，所有$ w(S) $均为约化解，且对所有$ S \in \frak{S} $，此类模均存在。
• 通过$ w(S_M) $建立的预投影模与Weyl群元素之间的对应关系是双射：$ M \cong N $当且仅当$ w(S_M) = w(S_N) $。
• 该结果通过移除Cartan矩阵的对称性假设，强化了Howlett与Fomin–Zelevinsky的早期定理。
• 该理论自然可推广至Coxeter-可排序元素，未来可将预投影表示与簇结构及非交叉划分联系起来。