[论文解读] Preservation of depth in local geometric Langlands correspondence

Tsao-Hsien Chen, Masoud Kamgarpour|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文提出了局部朗兰兹对应保持表示深度这一猜想的几何类比，证明了环群的范畴表示的深度不超过其对应几何朗兰兹参数的深度。关键创新在于提出了一种基于联络的斜率新定义，结合Moy-Prasad理论与Segal-Sugawara算子，成功证明了该深度不等式。

ABSTRACT

It is expected that, under mild conditions, local Langlands correspondence preserves depths of representations. In this article, we formulate a conjectural geometrisation of this expectation. We prove half of this conjecture by showing that the depth of a categorical representation of the loop group is less than or equal to the depth of its underlying geometric Langlands parameter. A key ingredient of our proof is a new definition of the slope of a meromorphic connection, a definition which uses opers. In the appendix, we consider a relationship between our conjecture and Zhu's conjecture on non-vanishing of the Hecke eigensheaves produced by Beilinson and Drinfeld's quantisation of Hitchin's fibration for non-constant groups.

研究动机与目标

• 提出局部朗兰兹对应保持表示深度这一猜想的几何类比。
• 通过联络的联络理论，提出一种基于联络的斜率新定义，为几何朗兰兹中的深度分析提供新工具。
• 证明环群范畴表示的深度不超过其底层几何朗兰兹参数的深度。
• 探讨所提猜想与贝林森-德鲁丁量化中Hecke特征层非零性猜想之间的联系。

提出的方法

• 引入一种基于联络的斜率新定义，取代经典方法。
• 应用Moy-Prasad理论定义几何朗兰兹参数与表示的深度。
• 利用Segal-Sugawara算子分析环群在仿射顶点代数上的作用。
• 通过傅里叶系数在光滑模上的作用，建立范畴表示深度的上界。
• 借助Tannakian形式化，将几何结构与表示论深度联系起来。
• 通过贝林森-德鲁丁对Hitchin纤维化的量化，将局部猜想与整体几何联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何朗兰兹对应是否像经典局部朗兰兹猜想一样保持表示的深度？
• RQ2 在几何朗兰兹的背景下，联络的斜率能否通过联络理论有意义地定义？
• RQ3 环群范畴表示的深度是否被其关联的几何朗兰兹参数的深度所上界控制？
• RQ4 从全局量化中Hecke特征层的非零性在多大程度上意味着临界水平下局部表示的非平凡性？
• RQ5 每个在穿孔圆盘上的局部联络是否都能扩展为曲线上全局联络，以构造非零局部模？

主要发现

• 环群范畴表示的深度不超过其底层几何朗兰兹参数的深度，证明了所提猜想的一半。
• 提出了一种基于联络的斜率新定义，这是深度比较的关键。
• 对于任意斜率为 $1/h$ 的局部联络，其中 $h$ 是 $\check{G}$ 的Coxeter数，若该联络可全局延拓，则其真空模的中心化约化非零。
• 证明依赖于证明Segal-Sugawara算子在超过某一阶后对真空向量的作用为零，该阶由深度控制。
• 当全局Hecke特征层 $\mathrm{Aut}_\chi$ 非零时，模 $\mathrm{Vac}_x(\chi)$ 是 $G_{x,1/h^+}$-可积且非零。
• 该猜想意味着对于此类联络，表示范畴 $\widehat{\mathfrak{g}}_c\text{-mod}_\chi$ 的深度被 $1/h$ 上界控制。