[论文解读] Principle of minimal singularity for Green's functions

Wenliang Li|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2023

Mathematical and Theoretical AnalysisMathematics参考文献 50被引用 3

一句话总结

本文引入了'最小奇点原理'，通过要求复 $ n $-平面上的奇点——其中 $ n $ 标记矩 $ G_n = \langle \phi^n \rangle $——尽可能简单，来解决自洽Dyson-Schwinger方程中Green函数的不确定性。该方法统一了对不确定量场理论的处理方法，在 $ D=0 $ 时得到 $ g\phi^m $ 理论的闭式解，并在 $ D=1 $ 的四次和非厄米立方模型中实现快速收敛结果，通过在 $ n=\infty $ 处最小化奇点复杂度，其关键结果是：在一单切片解中，Green函数的分支合并为一条光滑曲线。

ABSTRACT

Analytic continuations of integer-valued parameters can lead to profound insights, such as angular momentum in Regge theory, the number of replicas in spin glasses, the number of internal degrees of freedom, the spacetime dimension in dimensional regularization and Wilson's renormalization group. In this work, we consider a new kind of analytic continuation of correlation functions, inspired by two recent approaches to underdetermined Dyson-Schwinger equations in $D$-dimensional spacetime. If the Green's functions $G_n=\langleϕ^n angle$ admit analytic continuation to complex values of $n$, the two different approaches are unified by a novel principle for self-consistent problems: Singularities in the complex plane should be minimal. This principle manifests as the merging of different branches of Green's functions in the quartic theories. For $D=0$, we obtain the closed-form solutions of the general $gϕ^m$ theories, including the cases with complex coupling constant $g$ or non-integer power $m$. For $D=1$, we derive rapidly convergent results for the Hermitian quartic and non-Hermitian cubic theories by minimizing the complexity of the singularity at $n=\infty$.

研究动机与目标

• 解决量子场论中自洽Dyson-Schwinger方程对Green函数 $ G_n = \langle \phi^n \rangle $ 的不确定性，该方程构成一个欠定系统。
• 通过将 $ n $ 解析延拓至复数域，提出一种新原理，统一 $ D $ 维时空中对欠定Dyson-Schwinger方程的两种近期方法。
• 通过最小化复 $ n $-平面上奇点的复杂度，识别出在多个可能解中具有物理一致性的选择标准。
• 为 $ D=0 $ 的 $ g\phi^m $ 理论推导出闭式解，包括 $ g $ 为复数或 $ m $ 为非整数的情形，并为 $ D=1 $ 的厄米四次和非厄米立方模型获得快速收敛结果。
• 证明最小奇点原理在一矩阵模型的单切片解中表现为Green函数不同分支的合并。

提出的方法

• 将标记Green函数 $ G_n = \langle \phi^n \rangle $ 的整数参数 $ n $ 解析延拓至复数域，将 $ G_n $ 视为复 $ n $-平面上的亚纯函数。
• 应用奇点应尽可能简单的原理，即奇点的数量和分支结构应尽可能简单。
• 利用预解式 $ R(z) = \sum_{n=0}^\infty G_n z^{-n-1} $ 将Dyson-Schwinger方程映射为一个二次方程，其解确定奇点结构。
• 在 $ D=0 $ 情况下，通过要求最小奇点，为 $ g\phi^m $ 理论推导出 $ G_n $ 的闭式解，得到任意 $ m $ 和复 $ g $ 的精确表达式。
• 在 $ D=1 $ 情况下，通过最小化 $ n=\infty $ 处的奇点复杂度，为厄米四次和非厄米立方理论获得快速收敛结果。
• 在一矩阵模型中，将单切片解识别为分支点汇聚的解，并证明当 $ G_2 $ 趋近单切片值时，来自不同分支的Green函数平滑合并。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以无偏且物理一致的方式解决自洽Dyson-Schwinger方程中的不确定性？
• RQ2 在量子场论中，将矩指标 $ n $ 解析延拓至复数域具有何种物理意义？
• RQ3 复 $ n $-平面上的最小奇点原理如何统一解决欠定Dyson-Schwinger方程的不同方法？
• RQ4 在矩阵模型中，Green函数分支的合并如何帮助识别物理上有效的解？
• RQ5 最小奇点原理能否用于推导非整数 $ m $ 或复 $ g $ 的 $ g\phi^m $ 理论的闭式解？

主要发现

• 在 $ D=0 $ 情况下，最小奇点原理为任意 $ m $ 和复耦合 $ g $ 的 $ g\phi^m $ 理论提供了闭式解，包括非整数和复数幂次。
• 在 $ D=0 $ 的四次模型（$ m=4 $）中，$ G_2 $ 的单切片解为 $ G_2^{\text{(one-cut,\pm)}} = \frac{(\pm 1)(12g+1)^{3/2} - 18g - 1}{54g^2} $，其中 $ (+) $ 解在 $ g \geq -\frac{1}{12} $ 时为实数且为正。
• 当 $ g=1 $ 时，单切片 $ (+) $ 解约为 $ G_2^{\text{(one-cut,+)}} \approx 0.51615 $，当 $ G_2 $ 从上方或下方趋近此值时，偶数 $ n $ 的 $ G_n $ 的两个分支合并为一条光滑曲线。
• 在 $ g=1 $ 时，$ (-) $ 单切片解的 $ G_2 $ 为负，但 $ G_{4p} $ 和 $ -G_{4p+2} $ 仍会在单切片极限下合并为一条曲线，表明存在普遍的合并行为。
• 证明了Li:2023nip提出的零态条件方法是极小奇点原理的一种有理逼近实现方式，其通过多项式逼近强制在分支切割上趋于零。
• 在 $ D=1 $ 情况下，通过最小化 $ n=\infty $ 处的奇点复杂度，为厄米四次和非厄米立方理论获得了快速收敛结果，表明该原理在 $ D=0 $ 之外也具有实用性。