[论文解读] Private Function Computation for Noncolluding Coded Databases

Sarah A. Obead, Hsuan-Yin Lin+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2020

Advanced Data Storage Technologies参考文献 28被引用 6

一句话总结

本论文针对非共谋编码数据库中的私有函数计算（PPC）提出了容量可达的方案，聚焦于多变量多项式计算。通过采用Reed-Solomon编码与系统化Lagrange编码，提出了新颖的线性（PLC）及高阶多项式计算协议，实现了最优或显著提升的计算速率，尤其在消息数量趋于无穷的渐近情形下表现突出。

ABSTRACT

Private computation in a distributed storage system (DSS) is a generalization of the private information retrieval (PIR) problem. In such setting a user wishes to compute a function of $f$ messages stored in $n$ noncolluding coded databases, i.e., databases storing data encoded with an $[n,k]$ linear storage code, while revealing no information about the desired function to the databases. We consider the problem of private polynomial computation (PPC). In PPC, a user wishes to compute a multivariate polynomial of degree at most $g$ over $f$ variables (or messages) stored in multiple databases. First, we consider the private computation of polynomials of degree $g=1$, i.e., private linear computation (PLC) for coded databases. In PLC, a user wishes to compute a linear combination over the $f$ messages while keeping the coefficients of the desired linear combination hidden from the database. For a linearly encoded DSS, we present a capacity-achieving PLC scheme and show that the PLC capacity, which is the ratio of the desired amount of information and the total amount of downloaded information, matches the maximum distance separable coded capacity of PIR for a large class of linear storage codes. Then, we consider private computation of higher degree polynomials, i.e., $g>1$. For this setup, we construct two novel PPC schemes. In the first scheme, we consider Reed-Solomon coded databases with Lagrange encoding, which leverages ideas from recently proposed star-product PIR and Lagrange coded computation. The second scheme considers the special case of coded databases with systematic Lagrange encoding. Both schemes yield improved rates, while asymptotically, as $f ightarrow \infty$, the systematic scheme gives a significantly better computation retrieval rate compared to all known schemes up to some storage code rate that depends on the maximum degree of the candidate polynomials.

研究动机与目标

• 为通过线性码存储数据的非共谋编码数据库设计私有函数计算（PPC）方案。
• 在基于线性编码的分布式存储系统中，实现私有线性计算（PLC）的最优通信速率（容量）。
• 设计高效的PPC协议，用于高阶多项式（g > 1）计算，采用Lagrange与系统化编码技术。
• 分析并提升计算检索速率，尤其在消息数量 f → ∞ 的渐近情形下。
• 证明所提方案在系统化Lagrange编码数据库中可实现或超越已知速率，尤其在高阶多项式场景下。

提出的方法

• 通过利用最大距离分离（MDS）编码私有信息检索（PIR）容量，提出一种容量可达的PLC方案，适用于线性编码数据库，其速率与已知的MDS-PIR容量相匹配。
• 提出一种新颖的PPC方案，基于Reed-Solomon编码数据库与Lagrange编码，灵感源自星积PIR与Lagrange编码计算。
• 设计第二种专门针对系统化编码数据库的PPC方案，采用Lagrange编码，实现高效的查询设计与冗余降低。
• 通过多项式函数与其单项式基之间的确定性线性映射，建模依赖关系，消除冗余查询。
• 采用组合查询分组策略（Group 1与Group 2），基于线性依赖关系识别并移除冗余的查询类型。
• 采用递归查询构造策略，当已知所需函数的评估值时，将Group 2中的查询表示为Group 1中查询的线性组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，编码数据库上的私有线性计算（PLC）可达到MDS-PIR容量？
• RQ2 如何在编码数据库中通过结构化编码高效实现高阶多项式计算（g > 1）的私有多项式计算（PPC）？
• RQ3 在采用Lagrange编码的Reed-Solomon编码数据库中，PPC的可实现计算检索速率是多少？与先前方案相比如何？
• RQ4 系统化Lagrange编码对PPC的速率性能有何影响，尤其在渐近情形下？
• RQ5 能否通过线性依赖性分析系统性地识别并移除PPC中的冗余查询类型？

主要发现

• 所提PLC方案在一大类线性存储码中实现了MDS编码PIR容量，与已知理论极限完全一致。
• 对于采用Lagrange编码的Reed-Solomon编码数据库，所提PPC方案在低码率下相比先前方法显著提升了计算检索速率。
• 系统化Lagrange编码的PPC方案在 f → ∞ 的渐近情形下实现了显著更优的计算检索速率，优于所有已知方案，且在给定最大多项式次数 g 下逼近理论极限。
• 通过识别查询之间的线性依赖关系，Group 2中的冗余查询类型数量得以减少，其数量为 (μ−r choose τ)（针对τ-和）。
• 所推导的查询冗余减少方法在多项式函数与其单项式基之间存在确定性线性映射的前提下成立，从而实现高效的查询设计。
• 所提方案实现了最优或近似最优的速率，其中系统化方案在渐近情形下趋近理论极限。