[论文解读] Pro-Chern-Schwartz-MacPherson class for DM stacks

Yunfeng Jiang|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文将阿鲁菲（Aluffi）的 Pro-Chern-Schwartz-MacPherson（Pro-CSM）类构造从概形推广到 Deligne-Mumford（DM）堆栈，为 DM 堆栈上的构造函数定义了 Pro-CSM 类。对于一个紧致的 DM 堆栈，它证明了贝雷达函数（Behrend function）的 Pro-CSM 类等于阿鲁菲类，且其积分给出加权欧拉示性数，从而证明了贝雷达在唐纳森-托马斯理论中关于虚拟计数的猜想。

ABSTRACT

We generalize the definition of Pro-Chern-Schwartz-MacPherson (Pro-CSM) class of Aluffi for schemes to not necessarily proper DM stacks. The Pro-CSM class of constructible functions on a DM stack $\cX$ can be similarly defined. In the case that $\cX$ is proper, the Pro-CSM class of the Behrend function of $\cX$ is the same as the Chern-Schwartz-MacPherson (CSM) class for the Behrend function. The integration of this class over $\cX$ gives rise to the weighted Euler characteristic corresponding to the Behrend function, thus proving a conjecture of Behrend.

研究动机与目标

• 将阿鲁菲的 Pro-CSM 类构造从概形推广到 Deligne-Mumford 堆栈。
• 为 DM 堆栈上的构造函数定义 Pro-CSM 类。
• 证明对于一个紧致的 DM 堆栈，其贝雷达函数的 Pro-CSM 类等于阿鲁菲类。
• 验证该类的积分给出加权欧拉示性数，从而确认贝雷达的猜想。
• 为 DM 堆栈建立从构造函数到 Pro-Chow 群的自然变换。

提出的方法

• 将 DM 堆栈 $\mathcal{X}$ 的 Pro-Chow 群函子 $\hat{A}_*(\mathcal{X})$ 定义为所有正则紧化 $\mathcal{U} \to \mathcal{X}_i$（其中 $\mathcal{X}_i$ 为紧致）的投射极限。
• 通过从构造函数函子到 $\hat{A}_*(\mathcal{X})$ 的自然变换构造 Pro-CSM 类，推广阿鲁菲在概形层面的构造。
• 利用 Nash 拓扑化和余切丛周期构造，为堆栈中的周期定义 Chern-Mather 类，并将其与局部欧拉障碍联系起来。
• 利用吉涅茨堡（Ginzburg）和贝雷达（Behrend）的结果，建立包含陈示性类、特征周期和拉格朗日子流形交点的交换图。
• 通过变换的自然性与上推性质，证明贝雷达函数 $\nu_{\mathcal{X}}$ 的 Pro-CSM 类与阿鲁菲类 $\alpha_{\mathcal{X}}$ 一致。
• 利用拉格朗日子流形交点理论，证明 $\int_{\mathcal{X}} \alpha_{\mathcal{X}} = \chi(\mathcal{X}, \nu_{\mathcal{X}})$，从而确认贝雷达的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿鲁菲的 Pro-CSM 类构造能否从概形推广到 Deligne-Mumford 堆栈？
• RQ2 在紧致的 DM 堆栈上，贝雷达函数的 Pro-CSM 类是否与贝雷达定义的阿鲁菲类一致？
• RQ3 在紧致的 DM 堆栈上，对贝雷达函数的 Pro-CSM 类进行积分是否等于加权欧拉示性数 $\chi(\mathcal{X}, \nu_{\mathcal{X}})$？
• RQ4 从代数簇到 DM 堆栈，构造函数到 Pro-Chow 群的自然变换能否被推广？
• RQ5 贝雷达函数的 Pro-CSM 类在拉格朗日子流形交点方面的几何解释是什么？

主要发现

• 在紧致的 DM 堆栈 $\mathcal{X}$ 上，贝雷达函数 $\nu_{\mathcal{X}}$ 的 Pro-CSM 类等于阿鲁菲类 $\alpha_{\mathcal{X}}$。
• 对于一个紧致的 DM 堆栈 $\mathcal{X}$，其 Pro-CSM 类与标准 CSM 类一致。
• 对 $\mathcal{X}$ 上贝雷达函数的 Pro-CSM 类进行积分，可得到加权欧拉示性数 $\chi(\mathcal{X}, \nu_{\mathcal{X}})$，从而证明了贝雷达的猜想。
• 贝雷达函数 $\nu_{\mathcal{X}}$ 的特征周期是 $\Omega_{\mathcal{M}}$ 中的一个拉格朗日子流形周期，其与零截面的交数即为加权欧拉示性数。
• Pro-CSM 类构造与紧致上推交换，并满足所需的自然性，将麦克唐纳森（MacPherson）的函子性推广到了 DM 堆栈。
• 该结果与拉格朗日子流形公式 $\int_{\mathcal{X}} \alpha_{\mathcal{X}} = I(\operatorname{Ch}(\nu_{\mathcal{X}}), [\mathcal{M}])$ 一致，如文中交换图所示。