[论文解读] Virtual signed Euler characteristics

Yunfeng Jiang, Richard Thomas|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文构建了一个关于具有完美障碍理论的空间 $M$ 的锥 $N$，并赋予其对称障碍理论，使得 $N$ 局部上是某个函数的临界集。通过将 $N$ 的虚拟圈局部化到其 $\mathbb{C}^*$-不动点集 $M$，作者定义了 $M$ 的五种虚拟带符号欧拉特征。证明了其中四种——Graber-Pandharipande、Behrend Kai 加权、Kiem-Li 截面化以及带符号的拓扑欧拉特征 $(-1)^{\operatorname{vd}}$——彼此相等，而 Ciocan-Fontanine-Kapranov/Fantechi-Göttsche 不变量等于 Graber-Pandharipande 版本，尽管只有前两者是形变不变的。

ABSTRACT

Roughly speaking, to any space $M$ with perfect obstruction theory we associate a space $N$ with symmetric perfect obstruction theory. It is a cone over $M$ given by the dual of the obstruction sheaf of $M$, and contains $M$ as its zero section. It is locally the critical locus of a function. More precisely, in the language of derived algebraic geometry, to any quasi-smooth space $M$ we associate its $(-1)$-shifted cotangent bundle $N$. By localising from $N$ to its $\mathbb C^*$-fixed locus $M$ this gives five notions of virtual signed Euler characteristic of $M$: (1) The Ciocan-Fontanine-Kapranov/Fantechi-Göttsche signed virtual Euler characteristic of $M$ defined using its own obstruction theory, (2) Graber-Pandharipande's virtual Atiyah-Bott localisation of the virtual cycle of $N$ to $M$, (3) Behrend's Kai-weighted Euler characteristic localisation of the virtual cycle of $N$ to $M$, (4) Kiem-Li's cosection localisation of the virtual cycle of $N$ to $M$, (5) $(-1)^{vd}$ times by the topological Euler characteristic of $M$. Our main result is that (1)=(2) and (3)=(4)=(5). The first two are deformation invariant while the last three are not.

研究动机与目标

• 为具有完美障碍理论的空间 $M$ 定义多种虚拟带符号欧拉特征。
• 构建一个具有对称障碍理论的典范空间 $N$，使其成为 $M$ 上的锥，并将 $M$ 视为其零截面。
• 通过 $\mathbb{C}^*$-局部化将 $N$ 的不变量与 $M$ 的不变量关联起来。
• 比较并统一不同的局部化技术：Graber-Pandharipande、Behrend Kai、Kiem-Li 截面化以及带符号的拓扑欧拉特征。
• 澄清哪些不变量是形变不变的，哪些不是，从而解决文献中的模糊之处。

提出的方法

• 将 $N$ 构造为底层 $M$ 的导出空间的 $(-1)$-平移余切丛，或等价地，作为锥 $\operatorname{Spec}\operatorname{Sym}^\bullet \operatorname{Ob}_M \to M$。
• 通过局部模型 $\operatorname{Crit}(\widetilde{s}) \subset \mathrm{Tot}(E^*)$ 证明 $N$ 局部上是障碍丛对偶的总空间上某个函数 $\widetilde{s}$ 的临界集。
• 利用 $N$ 上的 $\mathbb{C}^*$-作用（缩放纤维）定义虚拟圈和 Behrend 函数在不动点集 $M$ 上的局部化。
• 对 $N$ 的虚拟圈应用 Graber-Pandharipande 虚拟 Atiyah-Bott 局部化，得到 $M$ 上的虚拟圈。
• 使用 Behrend 公式 $\chi^N(p) = (-1)^{\dim \mathrm{Tot}(E^*)} (1 - e(F_p))$ 计算 $N$ 上的 Behrend 函数，并证明其在 $M$ 上限制为 $(-1)^{\operatorname{vd}}$。
• 应用 Kiem-Li 截面化理论：$\mathbb{C}^*$-作用诱导一个欧拉向量场，从而给出障碍层的截面，使 $N$ 的虚拟圈可局部化到 $M$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当限制到不动点集 $M$ 时，非紧空间 $N$ 上不同虚拟圈局部化技术之间有何关系？
• RQ2 通过 Graber-Pandharipande、Behrend Kai 加权、Kiem-Li 截面化以及带符号的拓扑欧拉特征 $(-1)^{\operatorname{vd}}$ 定义的虚拟带符号欧拉特征是否等价？
• RQ3 为何某些不变量（如 Ciocan-Fontanine-Kapranov）是形变不变的，而另一些（如 Behrend Kai）则不是？
• RQ4 当 $N$ 是具有对称障碍理论的 $M$ 的锥时，Behrend 函数 $\chi^N$ 在 $M$ 上的确切值是什么？
• RQ5 能否利用 $N$ 上的 $\mathbb{C}^*$-作用统一计算非紧纤维上的 Milnor 纤维和欧拉特征？

主要发现

• Behrend 函数 $\chi^N$ 在 $N$ 上限制到 $M$ 时为常数 $(-1)^{\operatorname{vd}}$，即 $\chi^N|_M \equiv (-1)^{\operatorname{vd}}$。
• 对 $N$ 的 Behrend Kai 加权欧拉特征局部化后得到 $e(M, \chi^N|_M) = (-1)^{\operatorname{vd}} e(M)$，这与带符号的 $M$ 的拓扑欧拉特征一致。
• Kiem-Li 截面化局部化将 $N$ 的虚拟圈映射到 $M$ 的结果，与 Behrend Kai 加权欧拉特征结果相同，二者均等于 $(-1)^{\operatorname{vd}} e(M)$。
• Graber-Pandharipande 虚拟 Atiyah-Bott 局部化将 $[N]^{\operatorname{vir}}$ 限制到 $M$ 的结果，与 Ciocan-Fontanine-Kapranov/Fantechi-Göttsche 的 $M$ 的带符号虚拟欧拉特征一致，即 $\int_{[M]^{\operatorname{vir}}} c_{\operatorname{vd}}(E^\bullet)$。
• 四种不变量——Behrend Kai、Kiem-Li 截面化、带符号的拓扑欧拉特征以及 Graber-Pandharipande 局部化——彼此相等，而 Ciocan-Fontanine-Kapranov 不变量等于 Graber-Pandharipande 版本，但仅后两者是形变不变的。