[论文解读] Probabilistic and quantum finite automata with postselection

Abuzer Yakaryılmaz, A. C. Cem Say|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2011

semigroups and automata theory参考文献 20被引用 7

一句话总结

本文提出了一种带有后选择的实时有限自动机的新模型，适用于概率性和量子机器，证明后选择显著增强了计算能力。研究表明，带有后选择的量子有限自动机能够识别比经典对应物更多的语言，且有界误差识别所扩展的语言类超越了零误差识别的范围。

ABSTRACT

We prove that endowing a real-time probabilistic or quantum computer with the ability of postselection increases its computational power. For this purpose, we provide a new model of finite automata with postselection, and compare it with the model of Lāce et al. We examine the related language classes, and also establish separations between the classical and quantum versions, and between the zero-error vs. bounded-error modes of recognition in this model.

研究动机与目标

• 探究后选择是否增强了实时有限自动机的计算能力。
• 定义一种与 Aaronson 原始概念一致的带有后选择的有限自动机新模型。
• 比较经典概率性和量子有限自动机在后选择下的计算能力。
• 在后选择模型中建立零误差与有界误差识别模式之间的分离性。
• 将新模型与现有模型（如带重启的实时量子有限自动机）相联系。

提出的方法

• 提出一种带有后选择的实时有限自动机新模型，其中根据特定测量结果对计算分支进行过滤。
• 使用密度矩阵和振幅演化来建模量子态转移，并将后选择应用于接受/拒绝状态。
• 应用张量积构造将多个自动机组合以降低误差，利用后选择概率随原始误差的幂次缩放的特性。
• 通过概率和振幅比的数学分析，证明误差降低和语言类的分离性。
• 将新模型与现有模型（如 Lāce 等人的后选择模型以及带重启的实时 QFA）进行比较。
• 使用关于振幅比和期望运行时间的引理，以界定所构造自动机的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 后选择是否增加了实时概率性和量子有限自动机的计算能力？
• RQ2 与 Lāce 等人的模型相比，新后选择模型在计算能力上如何？
• RQ3 在后选择模型中，零误差与有界误差识别之间存在何种关系？
• RQ4 带有后选择的量子有限自动机能否识别比其经典对应物更多的语言？
• RQ5 带有后选择的自动机所识别的语言类与其它已知复杂度类有何关系？

主要发现

• 带有后选择的概率性有限自动机严格强于标准概率性有限自动机。
• 带有后选择的量子有限自动机严格强于带有后选择的经典概率性有限自动机。
• 带有后选择的量子有限自动机所识别的语言类等于带重启的实时量子有限自动机所识别的语言类。
• 有界误差识别在后选择下所识别的语言类严格大于零误差识别。
• 通过将 k 个自动机副本的张量积构造，可将误差从任意 ε ∈ (0, 1/2) 降低至 ε²，其中 k = 1 + ⌈log(1/ε + 1)/log(1/ε - 1)⌉。
• 对于任意 ε < 1/2，可构造一个误差 ε′ < ε 且可任意接近零的新自动机，证明误差可被无限缩小。