[论文解读] Classical and quantum computation with small space bounds (PhD thesis)

Abuzer Yakaryılmaz|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 54被引用 6

一句话总结

本博士论文提出了一种支持通用量子算符（包括下推、计数器和有限自动机变体）的新量子图灵机模型，并严格分析了在小空间约束下经典与量子机器的计算能力。关键结果表明，在亚对数空间和常数空间下，量子机器相较于经典机器能够识别更多语言，尤其在无界误差和有界误差设置中表现更优，新模型展现出相较于经典对应物更优的紧凑性和表达能力。

ABSTRACT

In this thesis, we introduce a new quantum Turing machine (QTM) model that supports general quantum operators, together with its pushdown, counter, and finite automaton variants, and examine the computational power of classical and quantum machines using small space bounds in many different cases. The main contributions are summarized below. Firstly, we consider QTMs in the unbounded error setting: (i) in some cases of sublogarithmic space bounds, the class of languages recognized by QTMs is shown to be strictly larger than that of classical ones; (ii) in constant space bounds, the same result can still be obtained for restricted QTMs; (iii) the complete characterization of the class of languages recognized by realtime constant space nondeterministic QTMs is given. Secondly, we consider constant space-bounded QTMs in the bounded error setting: (i) we introduce a new type of quantum and probabilistic finite automata (QFAs and PFAs, respectively,) with a special two-way input head which is not allowed to be stationary or move to the left but has the capability to reset itself to its starting position; (ii) the computational power of this type of quantum machine is shown to be superior to that of the probabilistic machine; (iii) based on these models, two-way PFAs and two-way classical-head QFAs are shown to be more succinct than two-way nondeterministic finite automata and their one-way variants; (iv) we also introduce PFAs and QFAs with postselection with their bounded error language classes, and give many characterizations of them. Thirdly, the computational power of realtime QFAs augmented with a write-only memory is investigated by showing many simulation results for different kinds of counter automata. Finally, some lower bounds of realtime classical Turing machines in order to recognize a nonregular language are shown to be tight.

研究动机与目标

• 研究在小空间约束下，特别是亚对数空间和常数空间边界下，经典与量子机器的计算能力。
• 开发一种支持通用量子算符的新量子图灵机模型，以实现对受限空间环境下量子计算的更广泛分析。
• 表征各种量子与经典自动机所识别的语言类，尤其关注实时和常数空间设置。
• 证明量子模型在空间效率和语言识别能力方面优于经典与概率对应物。
• 探讨后选择（postselection）和特殊输入头机制在增强量子有限自动机计算能力中的作用。

提出的方法

• 提出一种支持通用量子算符的新型量子图灵机模型，允许非幺正和非等距操作，以实现空间受限计算。
• 为无法向左移动但可重置至起始位置的有限自动机提出双向输入头模型，以实现新的计算能力。
• 采用超算符形式化方法，结合幺正演化与部分迹操作，以建模通用量子操作，区分可接受操作与选择性操作。
• 利用密度矩阵与操作元 {E_i} 表示量子转移，通过归一化确保迹保持。
• 在有限自动机模型中应用后选择以增强语言识别能力，尤其在有界误差设置中表现显著。
• 对具有只写存储器的量子有限自动机与各类计数器自动机进行模拟与表征结果分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在亚对数空间边界下，量子图灵机是否能识别比经典机器更多的语言？
• RQ2 实时常数空间非确定性量子图灵机的计算能力如何？
• RQ3 一种可重置但不能向左移动的双向输入头如何影响量子与概率有限自动机的计算能力？
• RQ4 具有后选择与只写存储器的量子有限自动机是否能比经典自动机更紧凑地识别更多语言？
• RQ5 经典实时图灵机识别非正则语言的紧致下界是什么？

主要发现

• 在亚对数空间边界下，量子图灵机能够识别严格多于经典图灵机的语言。
• 即使在常数空间下，受限的量子图灵机在语言识别能力方面也优于经典机器。
• 实时常数空间非确定性量子图灵机所识别的语言类已被完全表征。
• 具有可重置输入头的双向量子有限自动机比其概率对应物严格更强大。
• 具有经典输入头的双向量子有限自动机比双向非确定性有限自动机及其单向变体更紧凑。
• 具有后选择与有界误差的量子有限自动机所识别的语言类严格大于具有相同约束的概率自动机。