[论文解读] Probabilistic lower bounds on maximal determinants of binary matrices

Richard P. Brent, Judy-anne H. Osborn+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文通过将阶数 $ h \leq n $ 的 Hadamard 矩阵扩展 $ d = n - h $ 行和列，建立了一类新的 $ n \times n $ 二元矩阵（元素为 $\pm 1$）最大行列式概率下界。证明了比值 $\mathcal{R}(n) = \mathcal{D}(n)/n^{n/2}$ 的下界为仅依赖于 $ d $ 的正常数，优于以往在 $ n \to \infty $ 时趋于零的下界（当 $ d \geq 2 $ 时）。关键结果为：当 $ d \leq 3 $ 时，有 $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$，若 Hadamard 猜想成立，则该结果给出约 0.1133 的通用下界。

ABSTRACT

Let ${\mathcal D}(n)$ be the maximal determinant for $n imes n$ $\{\pm 1\}$-matrices, and $\mathcal R(n) = {\mathcal D}(n)/n^{n/2}$ be the ratio of ${\mathcal D}(n)$ to the Hadamard upper bound. Using the probabilistic method, we prove new lower bounds on ${\mathcal D}(n)$ and $\mathcal R(n)$ in terms of $d = n-h$, where $h$ is the order of a Hadamard matrix and $h$ is maximal subject to $h \le n$. For example, $\mathcal R(n) > (πe/2)^{-d/2}$ if $1 \le d \le 3$, and $\mathcal R(n) > (πe/2)^{-d/2}(1 - d^2(π/(2h))^{1/2})$ if $d > 3$. By a recent result of Livinskyi, $d^2/h^{1/2} o 0$ as $n o \infty$, so the second bound is close to $(πe/2)^{-d/2}$ for large $n$. Previous lower bounds tended to zero as $n o \infty$ with $d$ fixed, except in the cases $d \in \{0,1\}$. For $d \ge 2$, our bounds are better for all sufficiently large $n$. If the Hadamard conjecture is true, then $d \le 3$, so the first bound above shows that $\mathcal R(n)$ is bounded below by a positive constant $(πe/2)^{-3/2} > 0.1133$.

研究动机与目标

• 建立当 $ n $ 不是 Hadamard 阶时，$ n \times n $ $\{\pm 1\}$-矩阵最大行列式 $\mathcal{D}(n)$ 的改进下界。
• 通过引入概率方法，解决以往对 $\mathcal{R}(n) = \mathcal{D}(n)/n^{n/2}$ 的下界在 $ n \to \infty $ 时趋于零（当 $ d \geq 2 $ 时）的局限性。
• 证明 $\mathcal{R}(n)$ 的下界为仅依赖于 $ d = n - h $ 的正常数，其中 $ h $ 是不超过 $ n $ 的最大 Hadamard 阶，从而为固定的 $ d \geq 2 $ 提供非零下界。

提出的方法

• 通过在 $ h \times h $ Hadamard 矩阵 $ A $ 上添加 $ d = n - h $ 个随机 $\pm 1$ 元素于 $ d $ 个新列，再以确定性方式填充 $ d $ 个新行，以最大化 Schur 补的行列式，实现概率构造。
• 该方法依赖于计算结果矩阵 $\widetilde{A}$ 中 $ A $ 的 Schur 补的期望值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2 $，使用随机矩阵理论工具。
• 引理 2.6 和 2.9 推导出 Schur 补的均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2 $，用于从下界估计 $\widetilde{A}$ 的行列式。
• 通过将 $\widetilde{A}$ 的行列式表示为 Schur 补的形式，可运用集中不等式和概率估计来控制 $\mathcal{D}(n)$。
• 利用涉及 $\mu$、$\eta$ 和 $h$ 的不等式推导理论下界，得到以 $ d $ 和 $ h $ 表示的 $\mathcal{R}(n)$ 显式下界，并进行 $ n \to \infty $ 时的渐近分析。
• 分析利用了 Livinskyi 的结果，即当 $ n \to \infty $ 时 $ d^2/h^{1/2} \to 0 $，确保下界在大 $ n $ 时仍具有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 概率方法能否在 $ n \to \infty $ 时，对 $ d = n - h \geq 2 $（$ h $ 为不超过 $ n $ 的最大 Hadamard 阶）给出 $\mathcal{R}(n)$ 的非零下界？
• RQ2 基于 bordered Hadamard 矩阵 Schur 补的概率构造，可导出的 $\mathcal{R}(n)$ 最优下界是什么？
• RQ3 新下界与文献中已有的确定性和概率下界相比如何，特别是在小 $ d $ 和大 $ n $ 时？
• RQ4 Hadamard 猜想是否蕴含 $\mathcal{R}(n)$ 的通用正下界，且能否通过概率方法证明？

主要发现

• 当 $ d \leq 3 $ 时，本文证明了 $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$，若 Hadamard 猜想成立，则该结果给出约 0.1133 的通用下界。
• 当 $ d > 3 $ 时，建立了下界 $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2} \left(1 - d^2 (\pi/(2h))^{1/2}\right)$，由于 $ d^2/h^{1/2} \to 0 $，当 $ n \to \infty $ 时该下界趋近于 $(\pi e/2)^{-d/2}$。
• 下界 $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ 比以往结果在 $ d \in \{2,3\} $ 时更优，量级为 $ n^{1/2} $，且当 $ d $ 固定时对所有充分大的 $ n $ 成立。
• 数值比较表明，概率边界法优于确定性边界法和子式法，例如当 $ n=668 $、$ d=4 $ 时，$\mathcal{R}(n) \approx 0.0169 $，而确定性子式法仅为 $\approx 2.6 \times 10^{-4}$。
• 当 $ d=3 $ 且 $ n \geq 135 $ 时，本文下界 $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ 优于 Koukouvinos 等人提出的 $\mathcal{D}(n) \geq (n+1)^{(n-1)/2}$。
• 本文确认：当 $ d \leq 3 $ 时，$\mathcal{R}(n)$ 的下界与 $ n $ 无关，仅依赖于 $ d $，相比以往趋于零的下界有显著改进。