[论文解读] Probing holography in $p$-adic CFT

Stephen Ebert, Hao-Yu Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

advanced mathematical theories参考文献 35被引用 4

一句话总结

该论文全息地计算了p进CFT中在Bruhat-Tits树和p进BTZ黑洞背景下的分划函数与一阶Witten图，提出了拉普拉斯算子的新谱分解，并通过逆拉普拉斯变换推导出态密度。研究约束了重-重-轻三点半函数系数，并分析了p进CFT希尔伯特空间中全局共形群的表示。

ABSTRACT

We holographically calculate the partition functions of certain types of isotropic sectors of the CFTs dual to Bruhat-Tits trees and $p$-adic BTZ black holes. Along the way, we propose new spectral decompositions of the Laplacian operator other than the plane-wave basis on these two types of background, with both analytical and numerical evidence. We extract the density of states and hence entropy from the BTZ partition function via the inverse Laplace transform. Then the one-loop Witten diagram is computed in the $p$-adic BTZ black hole background, yielding constraints on the heavy-heavy-light averaged three-point coefficient of its boundary $p$-adic CFT. Finally, for general $p$-adic CFTs (not necessarily holographic), we analyze the representation theory of their global conformal group $PGL\left(2,\mathbb{Q}_p ight)$, and discuss the suitability of different representations as Hilbert spaces of $p$-adic CFT.

研究动机与目标

• 通过Bruhat-Tits树和p进BTZ黑洞作为背景，建立p进CFT的全息框架。
• 计算与这些背景对偶的p进CFT中各向同性扇区的分划函数，提取熵等热力学量。
• 通过在p进BTZ背景中计算一阶Witten图，对重-重-轻三点半函数系数施加约束。
• 分析$PGL(2,\mathbb{Q}_p)$的表示理论，并评估其作为p进CFT希尔伯特空间的适用性。

提出的方法

• 在Bruhat-Tits树和p进BTZ黑洞背景下，全息地计算p进CFT中各向同性扇区的分划函数。
• 提出这些背景下拉普拉斯算子的新谱分解，结合分析与数值证据。
• 通过逆拉普拉斯变换从BTZ分划函数中提取态密度与熵。
• 在p进BTZ黑洞背景中计算一阶Witten图，以约束重态平均三点半函数系数。
• 分析$PGL(2,\mathbb{Q}_p)$的表示理论，识别适合作为p进CFT候选希尔伯特空间的单位表示。
• 利用紧致诱导构造$GL(2,\mathbb{Q}_p)$的超临界表示，尤其针对零深度情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在Bruhat-Tits树与p进BTZ黑洞背景下全息地计算p进CFT中各向同性扇区的分划函数？
• RQ2 p进对称空间上拉普拉斯算子的哪些谱分解能为体场谱提供新见解？
• RQ3 在p进设置中，BTZ分划函数的逆拉普拉斯变换如何导出态密度与熵？
• RQ4 在p进BTZ背景中，一阶Witten图对重-重-轻三点半函数系数施加了何种约束？
• RQ5 哪些$PGL(2,\mathbb{Q}_p)$的单位表示适合作为p进CFT的希尔伯特空间，它们与超临界表示有何关系？

主要发现

• p进BTZ黑洞的分划函数表现出Bekenstein-Hawking面积律，证实了全息熵的标度行为。
• 通过分划函数的逆拉普拉斯变换提取态密度，其谱与三维引力一致。
• 对于非旋转p进BTZ黑洞，当$r_+$较大时，分划函数渐近趋于$e^{4k\pi r_{+}}$，与经典熵匹配。
• 当$r_+$较小时，分划函数行为为$r_+ e^{(4k - 1/6)\pi r_+}$，由Dedekind eta函数的渐近展开导出。
• 在p进BTZ背景中计算一阶Witten图，对重算符平均三点半函数系数施加了约束。
• 本文识别出$SL(2,\mathbb{Q}_p)$的$p(p-1)/2$个不同的超临界表示，当$p=2$时唯一，通过从$S_3$的紧致诱导构造。