[论文解读] Product between ultrafilters and applications to the Connes' embedding problem

Valerio Capraro, Liviu Păunescu|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文引入了一种在超滤子之间的新乘积运算，以解决Connes的嵌入问题，证明了超线性群的超乘积仍然是超线性的。它证明了在不可数个生成元下的自由群的冯诺依曼代数可嵌入到 $ R^\omega $ 中，并建立了通过投影作用的超线性群的半直积也可嵌入到 $ R^\omega $ 中，从而通过超线性对的新表征方式提供了对超线性的新刻画。

ABSTRACT

In this paper we want to apply the notion of product between ultrafilters to answer several questions which arise around the Connes' embedding problem. For instance, we will give a simplification and generalization of a theorem by Radulescu; we will prove that ultraproduct of hyperlinear groups is still hyperlinear and consequently the von Neumann algebra of the free group with uncountable many generators is embeddable into $R^ω$. This follows also from a general construction that allows, starting from an hyperlinear group, to find a family of hyperlinear groups. We will introduce the notion of hyperlinear pair and we will use it to give some other characterizations of hyperlinearity. We will prove also that the cross product of a hyperlinear group via a profinite action is embeddable into $R^ω$.

研究动机与目标

• 通过在算子代数中引入超滤子之间的新乘积运算来解决Connes的嵌入问题。
• 使用超滤子乘积推广并简化Rădulescu关于超线性群的定理。
• 证明超线性群的超乘积本身仍是超线性的，这意味着 $ L(\mathbb{F}_{\aleph_c}) $ 可嵌入到 $ R^\omega $ 中。
• 引入超线性对的概念，并利用它通过 $ R^\omega $ 中的迹来刻画超线性性。
• 证明通过投影作用的超线性群的半直积可嵌入到 $ R^\omega $ 中。

提出的方法

• 通过迭代极限定义在 $ I \times J $ 上的超滤子 $ \mathcal{U} \otimes \mathcal{V} $ 的张量积：$ X \in \mathcal{U} \otimes \mathcal{V} $ 当且仅当 $ \{i \in I : \{j \in J : (i,j) \in X\} \in \mathcal{V} \} \in \mathcal{U} $。
• 利用等价关系 $ \lim_{i \to \mathcal{U}} \lim_{j \to \mathcal{V}} x_i^j = \lim_{(i,j) \to \mathcal{U} \otimes \mathcal{V}} x_i^j $ 交换迭代超极限与联合超极限。
• 将中心对 $ (G_n, \varphi_n) $ 的超乘积定义为 $ \Pi_\omega (G_n, \varphi_n) = (\Pi_n G_n / N, \lim_\omega \varphi_n) $，其中 $ N = \{(g_n) : \lim_\omega \varphi_n(g_n) = 1\} $。
• 引入超线性对 $ (G, \varphi) $ 作为存在 $ \ast $-同态 $ \theta_\varphi: G \to U(R^\omega) $ 的中心对，使得 $ \tau(\theta_\varphi(g)) = \varphi(g) $。
• 应用同构 $ (R^\omega)^{\omega'} \cong R^{\omega \otimes \omega'} $，将嵌入 $ R^\omega $ 的性质在超乘积下转移。
• 利用投影作用将 $ L^\infty(X) \rtimes_\alpha G $ 分解为有限维半直积的并集，每个均可嵌入到 $ R^\omega $ 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 超滤子的乘积能否用于简化或推广关于超线性群和Connes嵌入问题的现有结果？
• RQ2 超线性群的超乘积本身是否仍是超线性的？这对 $ L(\mathbb{F}_{\aleph_c}) $ 嵌入到 $ R^\omega $ 有何含义？
• RQ3 超线性对的概念能否提供超越标准定义的超线性性新表征？
• RQ4 当 $ \alpha $ 是投影作用时，半直积 $ L^\infty(X) \rtimes_\alpha G $ 在什么条件下可嵌入到 $ R^\omega $ 中？
• RQ5 每个形如 $ G(\omega, \mathcal{I}) $ 的群是否都能实现为具有指定关系的群族的超乘积？

主要发现

• 通过同构 $ (R^\omega)^{\omega'} \cong R^{\omega \otimes \omega'} $ 证明了超线性群的超乘积是超线性的，且迹条件得以保持。
• 在不可数个生成元下的自由群 $ \mathbb{F}_{\aleph_c} $ 是超线性的，其冯诺依曼代数 $ L(\mathbb{F}_{\aleph_c}) $ 可嵌入到 $ R^\omega $ 中。
• 超线性对的超乘积 $ \Pi_\omega (G_n, \varphi_n) $ 本身也是超线性对，且迹条件在超极限下保持不变。
• 当 $ G $ 是超线性群且 $ \alpha $ 是投影作用时，半直积 $ L^\infty(X) \rtimes_\alpha G $ 可嵌入到 $ R^\omega $ 中。
• 不可数超线性群的存在强化了 $ R^\omega $ 的非可分性，而这种非可分性对于Connes嵌入猜想的成立是至关重要的。