[论文解读] Products of multisymplectic manifolds and homotopy moment maps

C. S. Shahbazi, Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文证明了在多重辛积构造（定义为笛卡尔积上多重辛形式的楔积）下，可观测量的 $L_{\infty}$-代数与同伦矩映射保持不变。该文构建了从各因子可观测量到乘积的 $L_{\infty}$-嵌入，并从各因子的同伦矩映射推导出乘积的同伦矩映射，同时引入了一类新的弯曲 $L_{\infty}$-代数，其曲率即为多重辛形式本身。

ABSTRACT

Multisymplectic geometry admits an operation that has no counterpart in symplectic geometry, namely, taking the product of two multisymplectic manifolds endowed with the wedge product of the multisymplectic forms. We show that there is an L-infinity-embedding of the L-infinity-algebra of observables of the individual factors into the observables of the product, and that homotopy moment maps for the individual factors induce a homotopy moment map for the product. As a by-product, we associate to every multisymplectic form a curved L-infinity-algebra, whose curvature is the multisymplectic form itself.

研究动机与目标

• 理解多重辛流形上可观测量的 $L_{\infty}$-代数在多重辛积操作下的行为，该操作定义为笛卡尔积上形式的楔积。
• 从单个因子的同伦矩映射出发，构造两个多重辛流形乘积的同伦矩映射。
• 引入并表征一种与任意闭微分形式自然关联的新弯曲 $L_{\infty}$-代数，其曲率等于该形式本身。
• 通过推广至闭形式与弯曲 $L_{\infty}$-代数，阐明多重辛几何中超越非退化形式的代数结构。

提出的方法

• 作者利用 $L_{\infty}$-同态与同伦矩映射的工具，基于 [3]、[5] 和 [11] 的前期工作，构建了乘积流形上的同伦矩映射。
• 他们明确定义了一个从因子的 $L_{\infty}$-代数直和到乘积的 $L_{\infty}$-代数的 $L_{\infty}$-嵌入 $H$，其构造受诱导同伦矩映射公式的引导。
• 该构造依赖于对分次多重线性映射中度数分析与符号约定的运用，特别是利用无乱序（unshuffles）与 Koszul 符号来处理 $L_{\infty}$-关系式。
• 弯曲 $L_{\infty}$-代数定义在与 $L_{\infty}(M,\omega)$ 相同的分次空间上，但扩展至包含度数 1 和 2 的分量，且高阶括号被调整以包含形式 $\omega$ 作为曲率。
• 通过按输入度数分情况讨论，利用度数约束与哈密顿向量场的恰当性进行消去论证，验证了 $L_{\infty}$-关系式。
• 作者将该构造与由等变上循环诱导的矩映射进行比较，表明其与辛几何及高阶预量化的已知结果一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在两个此类流形的楔积下，多重辛流形上可观测量的 $L_{\infty}$-代数如何表现？
• RQ2 能否从单个因子的同伦矩映射构造出两个多重辛流形乘积的同伦矩映射？
• RQ3 是否存在一种自然的弯曲 $L_{\infty}$-代数结构，与任意闭微分形式相关联，且其曲率等于该形式本身？
• RQ4 标准 $L_{\infty}$-代数的可观测量与这一新弯曲 $L_{\infty}$-代数之间存在何种代数关系？

主要发现

• 构造了一个 $L_{\infty}$-嵌入 $H: L_{\infty}(M_a,\omega_a) \oplus L_{\infty}(M_b,\omega_b) \to L_{\infty}(M_a \times M_b, \omega_a \wedge \omega_b)$，且 $H_1$ 是单射，表明可观测量在乘积操作下保持兼容。
• 从单个映射 $f^a$ 和 $f^b$ 显式构造出乘积的同伦矩映射 $F: \mathfrak{g}_a \oplus \mathfrak{g}_b \to L_{\infty}(M_a \times M_b, \omega_a \wedge \omega_b)$，并保持了 $L_{\infty}$-结构。
• 对于迭代乘积 $(M, \omega^m)$，推导出 $m=2$ 时的显式公式，并以超凯勒流形为例说明该构造。
• 引入了一类新的弯曲 $L_{\infty}$-代数 $L^{\text{curv}}_{\infty}(M,\omega)$，其底层分次空间在 $L_{\infty}(M,\omega)$ 的基础上扩展至包含度数 1 和 2，且曲率等于 $\omega$。
• 该弯曲 $L_{\infty}$-代数与标准 $L_{\infty}$-代数的可观测量不 quasi-isomorphic，且不存在保持零度恒等元的严格同态。
• 在辛情形（$n=1$）下，$L^{\text{curv}}_{\infty}(M,\omega)$ 同构于 $C^\infty(M) \oplus \Omega^1_{\text{Ham}}(M) \oplus \langle \omega \rangle$，且存在涉及 $d$ 与 $\omega$ 的哈密顿向量场的非平凡高阶括号。