[论文解读] Higher Symplectic Geometry

Christopher L. Rogers|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 51被引用 37

一句话总结

本文通过引入n重辛流形——即配备闭合且非退化的(n+1)-形式的流形——将辛几何推广至高阶形式，表明此类结构可导出李n-代数，并实现范畴化的几何量子化程序。关键贡献在于构建了一个2-plectic量子化框架，产生一个量子态范畴，其中包含一个具体示例，将2-plectic流形与SU(2)的表示联系起来。

ABSTRACT

We consider generalizations of symplectic manifolds called n-plectic manifolds. A manifold is n-plectic if it is equipped with a closed, nondegenerate form of degree n+1. We show that higher structures arise on these manifolds which can be understood as the categorified or homotopy analogues of important structures studied in symplectic geometry and geometric quantization. Just as a symplectic manifold gives a Poisson algebra of functions, we show that any n-plectic manifold gives a Lie n-algebra containing certain differential forms which we call Hamiltonian. Lie n-algebras are examples of strongly homotopy Lie algebras. They consist of an n-term chain complex equipped with a collection of skew-symmetric multi-brackets that satisfy a generalized Jacobi identity. We then develop the machinery necessary to geometrically quantize n-plectic manifolds. In particular, just as a prequantized symplectic manifold is equipped with a principal U(1)-bundle with connection, a prequantized 2-plectic manifold is equipped with a U(1)-gerbe with 2-connection. A gerbe is a categorified sheaf, or stack, which generalizes the notion of a principal bundle. Furthermore, over any 2-plectic manifold there is a vector bundle equipped with extra structure called a Courant algebroid. This bundle is the 2-plectic analogue of the Atiyah algebroid over a prequantized symplectic manifold. Its space of global sections also forms a Lie 2-algebra, which we use to prequantize the Lie 2-algebra of Hamiltonian forms. Finally, we introduce the 2-plectic analogue of the Bohr-Sommerfeld variety associated to a real polarization, and use this to geometrically quantize 2-plectic manifolds. The output of this procedure is a category of quantum states. We consider a particular example in which the objects of this category can be identified with representations of the Lie group SU(2).

研究动机与目标

• 将辛几何推广至高阶微分形式，引入n-plectic流形作为辛流形的推广。
• 为2-plectic流形开发几何量子化程序，其类比于标准几何量子化，但结果为量子态范畴而非希尔伯特空间。
• 建立高阶辛几何、表示论与弦理论启发结构（如gerbes、Courant代数胚和环路群）之间的联系。
• 范畴化Bohr-Sommerfeld条件，并为极化量子化构造2-plectic版的Bohr-Sommerfeld流形。
• 证明2-plectic流形的量子态范畴对应于SU(2)的表示，特别是通过球面上的扭曲向量丛实现。

提出的方法

• 将n-plectic流形定义为配备闭合且非退化(n+1)-形式的光滑流形，推广辛结构。
• 利用强同伦李代数（L∞-代数）结构，从n-plectic流形上的哈密顿微分形式构造李n-代数。
• 使用Deligne上同调和带有2-联络的U(1)-gerbes对2-plectic流形进行预量子化，推广标准辛流形通过U(1)-丛的预量子化。
• 引入定义在2-plectic流形上的Courant代数胚，作为Atiyah代数胚的2-plectic类比，其整体截面构成李2-代数。
• 通过实2-极化和平凡Deligne 2-上循环，定义2-plecticBohr-Sommerfeld流形，确保在叶面上满足量子化条件。
• 将量子态范畴构造为在Bohr-Sommerfeld流形上取值的扭曲希尔伯特向量丛，且在每片叶上平坦，其同构类对应于SU(2)的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 n-plectic流形如何推广辛流形？其高阶形式会产生何种代数结构？
• RQ2 2-plectic流形的范畴化几何量子化类比为何？其与基于希尔伯特空间的标准量子化有何不同？
• RQ3 U(1)-gerbes带2-联络如何作为2-plectic流形的预量子化结构，类比于辛几何中主U(1)-丛的作用？
• RQ4 Courant代数胚在2-plectic几何中扮演何种角色？其与哈密顿形式的李2-代数有何关联？
• RQ5 通过Bohr-Sommerfeld流形实现的2-plectic轨道方法，如何恢复如SU(2)不可约表示等表示论数据？

主要发现

• 配备平凡Deligne 2-上循环和以原点为中心的球面2-极化的2-plectic流形，其Bohr-Sommerfeld流形由半径为n/2的球面构成，其中n为整数。
• 对于M = ℝ³∖{0}配备2-plectic形式ω = dB，其量子态范畴由在每个Bohr-Sommerfeld叶上平坦的扭曲希尔伯特向量丛构成。
• 量子态范畴中对象的同构类与不包含平凡表示的有限维SU(2)表示的同构类之间存在一一对应。
• 每个此类量子态丛可分解为ℂℙ¹上超平面丛的张量幂的直和，反映出共轭轨道上线丛的结构。
• Bohr-Sommerfeld球面的半径n/2对应于SU(2)的维数为n+1的不可约表示，建立了2-plectic几何与轨道方法之间的直接联系。
• 无法恢复平凡表示的原因在于原点（对应平凡表示）被排除在流形M = ℝ³∖{0}之外，类似于谐振子量子化中的1/2位移。