[论文解读] Projective and birational geometry of Grassmannians and other special varieties

Rick Rischter|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 57被引用 5

一句话总结

本论文通过利用法丛空间（osculating spaces）推进了对格拉斯曼流形（Grassmannians）和塞列-韦罗内塞簇（Segre-Veronese varieties）中割线缺陷性的研究，提出了一种分析维数低于预期的割线簇的新方法。此外，论文进一步研究了在一般点处的格拉斯曼流形的爆破（blow-ups）的双有理几何，确立了这些爆破为 Mori dream 空间（MDS）的条件，并提供了此类情形下的显式界限，包括首次已知的关于最大点数 $ f(r,n) $ 的下界，使得 $ \mathbb{G}(r,n)_k $ 保持为 Mori dream 空间。

ABSTRACT

In the first part of the thesis, we study a classical invariant of projective varieties, the secant defectivity. The second part is devoted to modern algebraic geometry, we study the birational geometry of blow-ups of Grassmannians at points.

研究动机与目标

• 基于法丛空间发展一种新方法，以研究射影簇中的割线缺陷性。
• 利用该方法对割线缺陷的格拉斯曼流形和塞列-韦罗内塞簇进行分类。
• 确定在一般点处爆破的格拉斯曼流形何时为 Mori dream 空间（MDS）。
• 计算最大点数 $ f(r,n) $ 的下界，使得 $ \mathbb{G}(r,n)_k $ 的爆破仍为 MDS。
• 探索格拉斯曼流形爆破中 log Fano 与 Mori dream 空间性质之间的关系。

提出的方法

• 引入并应用法丛空间理论，以分析割线簇的维数。
• 使用法丛空间方法检测格拉斯曼流形和塞列-韦罗内塞簇的割线缺陷性。
• 通过 Mori 理论与 Mori chambers 分解研究格拉斯曼流形在一般点处的爆破。
• 应用如下判别准则：若一个代数簇的有效锥为有理多面体且有限生成，则其为 Mori dream 空间。
• 利用翻转（flips）与有理映射的分解，分析爆破的 nef 锥与移动锥。
• 借鉴射影空间爆破的已知结果，以指导对格拉斯曼流形的猜想与界限推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ (r,n) $，在 $ \mathbb{G}(r,n) $ 的一个一般点处的爆破是 Mori dream 空间？
• RQ2 最大点数 $ f(r,n) $ 是多少，使得 $ \mathbb{G}(r,n)_k $ 仍为 Mori dream 空间？
• RQ3 格拉斯曼流形与塞列-韦罗内塞簇的割线缺陷性如何与其法丛空间结构相关？
• RQ4 在 $ k $ 个一般点处的格拉斯曼流形爆破是否可能为 log Fano 但不是 Mori dream 空间？
• RQ5 当 $ k $ 较小时，$ \operatorname{Eff}(\mathbb{G}(r,n)_k) $ 的 Mori chamber 分解结构如何？

主要发现

• 在任意 $ r \geq 1 $ 的情况下，$ \mathbb{G}(r,n) $ 在一个一般点处的爆破均为 Mori dream 空间，从而确立了 $ f(r,n) \geq 1 $。
• 当 $ r=1 $ 时，若 $ n=2r+1 $ 或 $ n=2r+2 $，则 $ f(1,n) \geq 2 $；且 $ f(1,5) \geq 3 $，$ f(1,4) \geq 4 $。
• 当 $ n = 2r+1 $ 时，$ \mathbb{G}(r,n)_1 $ 的移动锥为 $ \operatorname{cone}(H, H - rE) $；当 $ n > 2r+1 $ 时，为 $ \operatorname{cone}(H, H - (r+1)E) $。
• $ \operatorname{Eff}(\mathbb{G}(r,n)_1) $ 的 Mori chamber 分解的墙为 $ E, H, H-E, \dots, H-(r+1)E $。
• 对于 $ \mathbb{G}(1,4) $，有 $ f(1,4) \geq 4 $，且根据有效锥非有限生成的证据，其值为 4 或 5。
• 推测 $ \mathbb{G}(r,n)_k $ 为 Mori dream 空间当且仅当 $ k \leq f(r,n) $，其中 $ f(0,n) = n+3 $（当 $ n > 4 $ 时），暗示了对射影空间情形的推广。