[论文解读] Projective completions of graded unipotent quotients

Gergely Bérczi, Brent Doran+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 12

一句话总结

本文为具有分级幂零根的非半单代数群发展了一种几何不变量理论（GIT）的有效类比，表明在正分级条件下，射影概形的帽稳定子集 admits 一个几何商，该几何商可通过 $X \times \mathbb{A}^1$ 的爆破实现投影完成。主要贡献在于使用希尔伯特-芒福德型判别准则和显式爆破过程，系统地构造了此类作用下的良好商与几何商。

ABSTRACT

The aim of this paper is to show that classical geometric invariant theory (GIT) has an effective analogue for linear actions of a non-reductive algebraic group $H$ with graded unipotent radical on a projective scheme $X$. Here the linear action of $H$ is required to extend to a semi-direct product $\hat{H} = H times \mathbb{G}_m$ with a multiplicative one-parameter group which acts on the Lie algebra of the unipotent radical $U$ of $H$ with all weights strictly positive, and which centralises a Levi subgroup $R \cong H/U$ of $H$. We show that $X$ has an $H$-invariant open subscheme (the 'hat-stable locus') which has a geometric quotient by the $H$-action. This geometric quotient has a projective completion which is a categorical quotient (indeed, a good quotient) by $\hat{H}$ of an open subscheme of a blow-up of the product of $X$ with the affine line; with additional blow-ups a projective completion which is itself a geometric quotient can be obtained. Furthermore the hat-stable locus of $X$ and the corresponding open subsets of the blow-ups of the product of $X$ with the affine line can be described effectively using Hilbert-Mumford-like criteria combined with the explicit blow-up constructions. Applications include the construction of moduli spaces of sheaves and Higgs bundles of fixed Harder--Narasimhan type over a fixed nonsingular projective scheme, and of moduli spaces of unstable projective curves of fixed singularity. More recently, cohomology theory for reductive GIT quotients were extended by the first and fourth author to the non-reductive situation studied in this paper, and this was used to prove the Green--Griffiths--Lang and Kobayashi hyperbolicity conjectures for generic projective hypersurfaces with polynomial bounds on their degree.

研究动机与目标

• 将经典的几何不变量理论（GIT）扩展至具有分级幂零根的非半单代数群的线性作用。
• 构造在 $H$ 作用下帽稳定子集 $X^{\hat{s},H}$ 的几何商，这是模构造中的关键步骤。
• 通过 $X \times \mathbb{A}^1$ 的爆破和 $\hat{H}$-商，提供几何商 $X^{\hat{s},H}/H$ 的投影完成。
• 使用希尔伯特-芒福德判别准则和显式爆破构造，有效描述帽稳定子集及其相关开子集。

提出的方法

• 引入半直积 $\hat{H} = H \rtimes \mathbb{G}_m$，其中 $\mathbb{G}_m$ 以严格正权重对 $H$ 的幂零根 $U$ 进行分级。
• 将帽稳定子集 $X^{\hat{s},H}$ 定义为 $R \cong H/U$ 在射影完成 $X^{\widehat{\phantom{a}}}/U$ 上的诱导作用下稳定子集的原像。
• 将投影完成 $X\,\widehat{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$ 构造为 $X \times \mathbb{A}^1$ 的某个开子概形的 $\hat{H}$-范畴商。
• 通过额外的爆破，得到几何商 $X\,\widetilde{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$，其由 $\widetilde{X \times \mathbb{P}^1} \mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}} \hat{U} / \!/ R$ 实现。
• 应用类似希尔伯特-芒福德的判别准则，有效描述帽稳定子集及爆破构造中的对应开子集。
• 采用涉及迭代爆破和维数降低的算法框架，确保过程终止并构造出所需的商。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典GIT能否被扩展至具有分级幂零根的非半单群，特别是当幂零根非半单时？
• RQ2 如何为这类非半单作用构造几何商 $X^{\hat{s},H}/H$ 的投影完成？
• RQ3 $\mathbb{G}_m$-作用在分级幂零根中起到什么作用，以实现有效的商构造？
• RQ4 在非半单情形下，帽稳定子集 $X^{\hat{s},H}$ 能否通过希尔伯特-芒福德判别准则有效描述？
• RQ5 在何种条件下，投影完成 $X\,\widetilde{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$ 成为几何商？

主要发现

• 当李群子群 $R$ 为平凡时，帽稳定子集 $X^{\hat{s},H}$ 非空，一般情况下它是 $R$ 在射影完成 $X^{\widehat{\phantom{a}}}/U$ 上作用的稳定子集的原像。
• 几何商 $X^{\hat{s},H}/H$ 具有投影完成 $X\,\widehat{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$，该完成是 $X \times \mathbb{A}^1$ 的某个开子概形的 $\hat{H}$-良好商。
• 通过额外的爆破，构造出进一步的投影完成 $X\,\widetilde{\!\mathbin{\text{\rotatebox[origin={c}]{70.0}{\scalebox{1.2}{$\approx$}}}}\!}\,H$，其本身即为几何商。
• 帽稳定子集及其在爆破中出现的开子集，可通过希尔伯特-芒福德判别准则与显式爆破序列有效描述。
• 商的构造算法会终止，因为每次构造循环均降低群的维数，从而确保有限下降至平凡群。
• 该方法适用于模问题，如固定哈勒-纳拉西姆汉类型的层与希格斯丛的模，以及具有固定奇点类型的不稳定曲线的模。