[论文解读] Projective Connections and Schwarzian Derivatives for Supermanifolds, and Batalin-Vilkovisky Operators

Jacob George|ArXiv.org|Sep 29, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文将射影联络与施瓦茨导数推广至超流形，引入了超-施瓦茨导数，并构造了作用于密度上的射影拉普拉斯算子及奇泊松括号的典范扩张。关键贡献在于刻画了在何种条件下作用于密度上的射影拉普拉斯算子是巴蒂林-维利科夫斯基算子，通过典范扩张与超几何中的曲率类不变量，将射影几何与奇泊松结构联系起来。

ABSTRACT

We extend the notion of a Thomas projective connection (a projective equivalence class of linear connections) for supermanifolds. As a by-product, we arrive at a generalisation of the multidimensional Schwarzian derivative for the super case which was previously unknown. This is combined with our previous construction of a Laplacian on the algebra of densities for a projectively connected manifold and allows us to study Batalin-Vilkovisky type operators and the relation between projective connections and odd Poisson structures.

研究动机与目标

• 将射影联络与托马斯构造推广至超流形，将经典射影几何框架推广至超设置。
• 为超流形定义多维施瓦茨导数，推广经典 Ovsienko-Tabachnikov 版本，并在超几何中提供一个新的不变量。
• 构造作用于函数上的射影拉普拉斯算子的超类比，以及从函数到超流形上密度的括号的典范扩张。
• 刻画作用于密度上的射影拉普拉斯算子成为巴蒂林-维利科夫斯基算子的条件，从而将射影几何与奇泊松结构联系起来。
• 通过上联络与曲率类不变量，几何地解释作用于密度上的奇泊松括号的射影扩张的各分量。

提出的方法

• 通过超施瓦茨导数作为关键不变量，将经典射影联络概念（具有相同未参数化测地线的线性联络等价类）推广至超流形。
• 将超施瓦茨导数作为经典版本的推广推导得出，使用射影类 $\Pi^{k}_{ij}$ 与超迹 $\mathrm{str}(\Pi)$。
• 利用对称张量 $S^{ij}$ 与射影类 $\Pi^{k}_{ij}$ 构造作用于函数上的典范射影拉普拉斯算子，其系数包含 $\partial_j S^{ij}$ 与 $S^{jk}\Pi^i_{jk}$。
• 定义作用于密度丛上的典范上联络，其系数为 $\gamma^i = \frac{n-m+1}{n-m+3}(\partial_j S^{ij} + S^{jk}\Pi^i_{jk})$，推广了偶数情形。
• 通过三元组 $(S^{ij}, \gamma^i, \theta)$ 将括号从函数扩展至密度，应用框架于奇泊松括号，并以泊松-李希诺维奇算子的形式推导雅可比恒等式条件。
• 使用主哈密顿形式，其中 $S = S^{ij}p_j p_i$，$\gamma = \gamma^i p_i$，$\theta$，推导出雅可比恒等式条件：$(S,S)=0$，$(S,\gamma)=0$，$(S,\theta)+( abla\gamma,\nabla\gamma)=0$，以及 $(\gamma,\theta)=0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典射影联络概念推广至超流形？在此设置下会涌现出哪些不变量？
• RQ2 在超流形设置下，多维施瓦茨导数的形式为何？它与射影类有何关系？
• RQ3 在何种条件下，作用于密度上的射影拉普拉斯算子是巴蒂林-维利科夫斯基算子？这与奇泊松结构有何关联？
• RQ4 如何将作用于函数上的奇泊松括号典范地扩展至密度上的括号？何时该扩展本身仍为奇泊松括号？
• RQ5 哪些几何或曲率类不变量（如 $B_{ij}$）控制射影类与泊松结构之间的相容性？

主要发现

• 本文构造了超施瓦茨导数，作为经典 Ovsienko-Tabachnikov 版本的推广，通过射影类 $\Pi^{k}_{ij}$ 与超迹定义，为超几何提供了新的不变量。
• 利用 $S^{ij}$ 与 $\Pi^{k}_{ij}$ 定义了作用于函数上的典范射影拉普拉斯算子，其系数为 $\frac{2}{n-m+3}\partial_j S^{ji} - \frac{n-m+1}{n-m+3}S^{jk}\Pi^i_{jk}$，该算子在射影等价下保持不变。
• 构造了作用于密度丛上的典范上联络，其系数为 $\gamma^i = \frac{n-m+1}{n-m+3}(\partial_j S^{ij} + S^{jk}\Pi^i_{jk})$，推广了偶数情形，使得括号能够扩展至密度。
• 作用于密度上的奇泊松括号的射影扩张是奇泊松括号，当且仅当满足条件：$(S,S)=0$，$(S,\gamma)=0$，$(S,\theta)+( abla\gamma,\nabla\gamma)=0$，以及 $(\gamma,\theta)=0$，其中 $\theta$ 为密度括号分量。
• 本文推导出作用于密度上的射影拉普拉斯算子为巴蒂林-维利科夫斯基算子的显式条件（22）：$S^{jk}\Pi^i_{kj} = -\left(\partial_j S^{ji} + \frac{n-m+3}{n-m+1}S^{ij}\partial_j\log\rho\right)$ 与 $S^{ij}B_{ji} = -\partial_j(S^{ji}\partial_i\log\rho) - \frac{n-m+2}{n-m+1}S^{ij}\partial_i\log\rho\partial_j\log\rho(-1)^j$，其中 $B_{ij}$ 为曲率类不变量。
• 将 $B_{ij}$ 解释为里奇张量的射影版本，$S^{ij}B_{ji}$ 解释为射影数量曲率，表明这些条件在射影不变量的几何解释下具有意义。